Параллельные прямые. Сумма углов треугольника
Параллельные прямые
Повторяем теорию
173. Заполните пропуски.
1) Две прямые называют параллельными, если они.
2) Параллельность прямых обозначают символом «.
3) Параллельными называют отрезки, которые
4) Две прямые, перпендикулярные третьей прямой,
5) Через данную точку М, не принадлежащую прямой а, можно провести
параллельную прямой а. Это утверждение называют
параллельных прямых или
параллельных прямых.
6) Если две прямые параллельны третьей прямой, то
174. Докажите признак параллельности прямых: две прямые, перпен-
дикулярные третьей прямой, параллельны.
Доказательство.
Пусть аlb и b1c. Надо доказать, что
Предположим, что прямые аи ь
в некоторой точке М. Тогда через точку М,
прямой с, проходят
с
прямой c. Это
теореме о том, что через точку, не принадлежанцую прямой, проходит
прямая, перпендикулярная данной. Следовательно, а || Ь.
с
D
а
175. Докажите теорему о двух прямых, параллельных треть
ей: если две прямые параллельны третьей прямой, то
они параллельны.
Доказательство.
Пусть b || aис || a. Докажем, что
Предположим, что прямые дис
в некоторой точке М. Получается, что через точку М проходят две пря-

1) Две прямые называют параллельными, если они никогда не пересекаются и лежат в одной плоскости. Это означает, что расстояние между двумя параллельными прямыми будет постоянным на всей их протяженности.

2) Параллельность прямых обозначают символом «||». Например, если говорят, что прямая а || прямой b, то это значит, что а и b являются параллельными.

3) Параллельными называют отрезки, которые соединяют соответствующие точки параллельных прямых. Такие отрезки будут иметь одинаковую длину на всем своем протяжении.

4) Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, также будут параллельными между собой. Если прямая а перпендикулярна к прямой с, и прямая b также перпендикулярна к прямой с, то а || b.

5) Через данную точку М, не принадлежащую прямой а, можно провести бесконечное количество прямых, параллельных прямой а. Это утверждение называют теоремой о том, что через точку, не принадлежащую прямой, проходит бесконечное множество параллельных прямых или параллельных прямых.

6) Если две прямые параллельны третьей прямой, то они также будут параллельными между собой. Если прямая а параллельна прямой с, и прямая b также параллельна прямой с, то а || b.

174. Доказательство признака параллельности прямых:

Пусть а || b и b || c. Надо доказать, что а || c.

Предположим, что прямые а и с пересекаются в некоторой точке М. Тогда через точку М можно провести прямые a' и c', параллельные прямой с, и также провести прямые a'' и b', параллельные прямой а. Это следует из теоремы о том, что через точку, не принадлежащую прямой, можно провести бесконечное количество параллельных прямых.

Теперь рассмотрим треугольник Ma'M' и треугольник Mb'C. Из условия известно, что a || b, поэтому Ма' || Mb'. Также известно, что b || c, поэтому Mb' || Mc'.

Теперь сравним углы треугольников Ma'M' и Mb'C. Угол Ma'M' равен углу Mb'C, так как они являются соответственными углами.

Получается, что треугольники Ma'M' и Mb'C имеют две пары параллельных сторон и один равный угол, следовательно, они подобны.

Из подобия треугольников следует, что отношение длин отрезков Ma' и Mb' будет равно отношению длин отрезков Ma'' и Mc'.

Но отрезок Ma' равен отрезку Ma'', так как они являются параллельными отрезками на одной прямой.

Следовательно, отрезок Mb' равен отрезку Mc'.

Но это означает, что прямые b и c имеют одинаковое расстояние от прямой a на всем своем протяжении.

Это означает, что прямые b и c также параллельны друг другу.

Таким образом, доказано, что а || с.

175. Доказательство теоремы о двух прямых, параллельных третьей:

Пусть b || а и c || а. Докажем, что b || c.

Предположим, что прямые b и c пересекаются в некоторой точке М. Тогда через точку М можно провести прямые b' и c', параллельные прямой а, и также провести прямые b'' и а', параллельные прямой b. Это следует из теоремы о том, что через точку, не принадлежащую прямой, можно провести бесконечное количество параллельных прямых.

Теперь рассмотрим треугольник Mb''M' и треугольник M'c''a'. Из условия известно, что b || а, поэтому Mb'' || M'a'. Также известно, что c || а, поэтому M'c'' || M'a'.

Теперь сравним углы треугольников Mb''M' и M'c''a'. Угол Mb''M' равен углу M'c''a', так как они являются соответственными углами.

Получается, что треугольники Mb''M' и M'c''a' имеют две пары параллельных сторон и один равный угол, следовательно, они подобны.

Из подобия треугольников следует, что отношение длин отрезков Mb'' и M'c'' будет равно отношению длин отрезков M'b' и M'a'.

Но отрезок Mb'' равен отрезку M'b', так как они являются параллельными отрезками на одной прямой.

Следовательно, отрезок M'c'' равен отрезку M'a'.

Но это означает, что прямые c и а имеют одинаковое расстояние от прямой b на всем своем протяжении.

Это означает, что прямые c и а также параллельны друг другу.

Таким образом, доказано, что b || c.