Отрезки мр и ек пересекаются в их середине о. докажите, что ме параллелен рк.

Строим выпуклый четырёхугольник на концах двух заданных отрезков.
Из свойства пересечения диагоналей и деления в точке пересечения пополам, этот четырёхугольник - параллелограмм. 
Из свойств и определения  параллелограмма - противолежащие стороны параллельны.