Отмечены вершины и середины сторон правильного $$8$$-угольника (то есть всего отмечено 16точек). Сколько существует выпуклых четырёхугольников с вершинами в отмеченных точках?

Добрый день!

Для того чтобы решить эту задачу, давайте сначала разберемся, сколько всего выпуклых четырехугольников можно построить на основе отмеченных точек.

Возможные пути создания четырехугольника из отмеченных точек:

1. Выбираем вершину A из отмеченных точек. Дальше выбираем любую вершину B из оставшихся отмеченных точек. Далее выбираем вершину C из оставшихся точек. И наконец, выбираем вершину D из оставшихся точек. Таким образом, мы выбрали 4 точки из отмеченных, и замкнули их в четырехугольник ABCD.

2. Выбираем вершину A из отмеченных точек. Дальше выбираем любую вершину B из оставшихся отмеченных точек. Далее выбираем одну из середин сторон, например, середину стороны AB, и назовем ее M. Теперь выбираем вершину C из оставшихся точек. И наконец, выбираем вершину D из оставшихся точек. Таким образом, мы выбрали 4 точки из отмеченных, и замкнули их в четырехугольник ABMD.

3. Выбираем вершину A из отмеченных точек. Дальше выбираем одну из вершин середины сторон, например, вершину M стороны AB. Теперь выбираем одну из вершин середины сторон, например, вершину P середины стороны BM. Теперь выбираем вершину C из оставшихся отмеченных точек. И наконец, выбираем вершину D из оставшихся точек. Таким образом, мы выбрали 4 точки из отмеченных, и замкнули их в четырехугольник ABMPC.

4. Выбираем вершину A из отмеченных точек. Дальше выбираем одну из вершин середины сторон, например, вершину M стороны AB. Теперь выбираем одну из вершин середины сторон, например, вершину P середины стороны BM. Теперь выбираем одну из вершин середины сторон, например, вершину Q середины стороны MP. И наконец, выбираем вершину D из оставшихся точек. Таким образом, мы выбрали 4 точки из отмеченных, и замкнули их в четырехугольник ABMPQD.

Таким образом, мы рассмотрели все возможности построения выпуклых четырехугольников на основе отмеченных точек. Заметим, что вариантов выбора 4 точек из 16 отмеченных всего есть

$$\binom{16}{4} = \frac{16!}{4!(16-4)!} = \frac{16!}{4!12!} = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 1820$$

то есть 1820 возможных четырехугольников.

Думаю, данное объяснение должно помочь школьнику понять эту задачу. Если у него возникнут дополнительные вопросы, он всегда может обратиться ко мне за помощью. Желаю ему успехов в учебе!