Основание призмы - равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом длины 8. боковое ребро, противолежащее гипотенузе, с катетами составляет углы 45 и 60. длина бокового ребра 5. найдите объем призмы

Тут хорошо бы рисунок, но попробую как-то словами.

1. Строится проекция вершины бокового ребра, противолежащего гипотенузе на полоскость основания.

2. Строятся проекции этой вершины НА КАТЕТЫ треугольника в основании (то есть из вершины в плоскости бокового ребра проводится перендикуляр к катету основания).

3. Если внимательно посмотреть на фигуру, вершинами которой являются эти три проекции, а также - вершина прямого угла основания, то это - прямоугольник, в котором проекция бокового ребра на основание - это диагональ. 

(Вы должны рассмотреть плоскости, проходящие через перпендикуляр к катету из вершины этого ребра и высоту всей призмы, проведенной из этой же вершины. Поскольку обе прямые перпендикулярны катету в основании, то вся эта плоаскоть перпендикулярна катету, и отрезок, соединяющий проекцию вершины на основание с проекцией этой вершины на катет, тоже перпендекулярен катету - он тоже лежит в этой плоскости. Это справедливо для обеих проекция на катеты. Поэтому там прямоугольник.)

4. Проекции бокового ребра на катеты основания фактически заданы - они равны

p1 = 5*cos(60) [...60 градусов, конечно...] = 5/2;

p2 = 5*cos(45) = 5*√2/2;

5.Это стороны прямоугольника, а диагональ равна

p3 = √(p1^2 + p2^2) = (5/2)*√(2 + 1) = 5*√3/2; (уже видно, что бовокая сторона наклонена  к основанию под углом в 30 градусов, но я сейчас получу высоту призмы напрямую)

6. Нам известна длина наклонной 5 и длина её проекции 5*√3/2; поэтому расстояние от вершины бокового ребра до плоскости основания равно 5/2 - по Т.П.

7. Обем призмы равен (8^2/2)*(5/2) = 80