Определить точки эллипса x2/16 + y2/7 = 1, расстояние которых до левого фокуса равно 2,5.

Добрый день! Давайте решим эту задачу пошагово.

1. Сначала, чтобы понять свойства и особенности эллипса, давайте вспомним его определение. Эллипс — это геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух данных точек (фокусов) постоянна. Из этого определения следует, что фокусы эллипса находятся на его главной оси.

2. У нас дано уравнение эллипса: x^2/16 + y^2/7 = 1. По формуле эллипса с полуосями a и b, у нас a = 4 и b = √7.

3. Теперь нам нужно найти положение фокусов эллипса. По определению, фокусы эллипса находятся на его главной оси, в данном случае это ось x. Так как фокусы равноудалены от центра эллипса, нам нужно найти расстояние от центра до фокуса.

4. Расстояние от центра эллипса до фокуса равно c, где c - это расстояние от центра эллипса до фокуса. В данном случае нам дано, что c = 2,5.

5. Используя известные значения a, b и c, мы можем найти положение фокусов. Формула для расчета фокусов эллипса выглядит следующим образом: c = sqrt(a^2 - b^2).

6. Подставим значения a = 4 и b = √7 в формулу и решим ее.
c = sqrt(4^2 - (√7)^2)
c = sqrt(16 - 7)
c = sqrt(9)
c = 3

7. Таким образом, расстояние от центра эллипса до фокуса равно 3.

8. Чтобы найти координаты фокусов эллипса, нам нужно знать положение центра эллипса. В данном случае, центр эллипса находится в точке (0, 0), так как уравнение централизовано относительно осей координат.

9. Теперь, зная центр (0, 0) и расстояние до фокуса (3), мы можем найти координаты фокусов. Координаты левого фокуса будут (-3, 0), так как он находится слева от оси y.

10. Итак, точка эллипса, расстояние которой до левого фокуса равно 2,5, будет находиться на линии, проведенной из центра (0, 0) эллипса через фокус (-3, 0) и будет иметь расстояние 2,5 от фокуса (-3, 0).

11. Чтобы найти координаты точки, давайте воспользуемся теоремой Пифагора. Расстояние от центра до точки (x, y) равно √(x^2 + y^2). Расстояние от фокуса (-3, 0) до точки (x, y) равно 2,5.

12. Используя теорему Пифагора, мы можем записать уравнение:
√(x^2 + y^2) = √((-3)^2 + 0^2) + 2,5

13. Упростим это уравнение:
√(x^2 + y^2) = √(9 + 0) + 2,5
√(x^2 + y^2) = √9 + 2,5
√(x^2 + y^2) = 3 + 2,5
√(x^2 + y^2) = 5,5

14. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:
x^2 + y^2 = (5,5)^2
x^2 + y^2 = 30,25

15. Таким образом, уравнение точек эллипса x^2/16 + y^2/7 = 1, расстояние которых до левого фокуса равно 2,5, можно заменить на уравнение x^2 + y^2 = 30,25.

16. На этом решение задачи завершено.