Определи верность или неверность высказываний, представленных ниже. Если расстояние между центральными точками двух окружностей равно разности их радиусов, то такие окружности касаются друг друга.

Опирающиеся на одну дугу вписанные углы в данной окружности равны.

Когда вписанный в окружность угол равен 45°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, будет равна 195°.

Через любые четыре точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная окружность.

Если расстояние между центральными точками двух окружностей равно разности их радиусов, то такие окружности касаются друг друга.
Вертикальные вписанные углы в данной окружности равны.
Когда вписанный в окружность угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, будет равна 60°.
Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная окружность.

Давай посмотрим на каждое высказывание отдельно и проверим его на верность.

1. "Если расстояние между центральными точками двух окружностей равно разности их радиусов, то такие окружности касаются друг друга."

Для того чтобы принять это высказывание за верное или неверное, нам нужно представить ситуацию, когда расстояние между центральными точками двух окружностей равно разности их радиусов. Предположим, что у нас есть две окружности с центрами A и B, и их радиусы равны R1 и R2 соответственно. Расстояние между центральными точками этих окружностей равно |AB|. Нам нужно проверить, является ли |AB| равным |R1 - R2|. Если это так, то окружности касаются друг друга.

Давай рассмотрим два случая:
- Если R1 > R2 и |AB| = R1 - R2, значит, окружность B с центром В лежит внутри окружности A с центром А. В этом случае окружности не касаются друг друга.
- Если R2 > R1 и |AB| = R2 - R1, значит, окружность A с центром А лежит внутри окружности B с центром В. Окружности не касаются друг друга и в этом случае.

Итак, первое высказывание неверно. Расстояние между центральными точками двух окружностей, равное разности их радиусов, не означает их касание.

2. "Опирающиеся на одну дугу вписанные углы в данной окружности равны."

Говоря о вписанных углах, мы имеем в виду два угла, которые опираются на одну дугу окружности и имеют общую сторону. Данные углы измеряются половиной меры соответствующей дуги.

В данном случае утверждается, что эти углы равны. Это утверждение является верным, так как все углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой. Доказательство этого факта можно найти в свойствах вписанных углов в окружности.

Итак, второе высказывание верно. Опирающиеся на одну дугу вписанные углы в данной окружности равны.

3. "Когда вписанный в окружность угол равен 45°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, будет равна 195°."

Действительно, угол, опирающийся на дугу, равен половине меры этой дуги. Поэтому, чтобы найти меру дуги, на которую опирается угол, нужно удвоить значение угла.

В данном случае, угол равен 45°, а значит, дуга будет равна 2 * 45° = 90°. Поэтому третье высказывание является неверным. Дуга окружности, на которую опирается угол 45°, будет равна 90°, а не 195°.

4. "Через любые четыре точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная окружность."

Это высказывание верно. Любыми четырьмя точками, которые не лежат на одной прямой, можно провести окружность. Для этого нужно найти серединные перпендикуляры для всех пар отрезков, образованных этими точками. Точка пересечения серединных перпендикуляров будет центром окружности, а расстояние от этой точки до любой из исходных точек будет радиусом окружности. Таким образом, решение единственно.

Итак, четвертое высказывание верно. Через любые четыре точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная окружность.

5. "Если расстояние между центральными точками двух окружностей равно разности их радиусов, то такие окружности касаются друг друга."

Мы уже рассмотрели это высказывание при анализе первого утверждения и пришли к выводу, что оно неверно. Поэтому пятое высказывание также является неверным.

6. "Вертикальные вписанные углы в данной окружности равны."

Вертикальные вписанные углы это углы, которые находятся на противоположных сторонах окружности и опираются на равные дуги.

Для того чтобы убедиться в верности этого высказывания, нужно посмотреть на свойства углов, образованных двумя пересекающимися хордами. Согласно этим свойствам, вертикальные вписанные углы равны между собой.

Итак, шестое высказывание верно. Вертикальные вписанные углы в данной окружности равны.

7. "Когда вписанный в окружность угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, будет равна 60°."

Аналогично третьему высказыванию, угол, опирающийся на дугу, равен половине меры этой дуги. Поэтому, чтобы найти меру дуги, на которую опирается угол, нужно удвоить значение угла.

В данном случае, угол равен 30°, а значит, дуга будет равна 2 * 30° = 60°. Поэтому седьмое высказывание является верным. Дуга окружности, на которую опирается угол 30°, будет равна 60°.

8. "Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная окружность."

Мы уже рассмотрели это высказывание при анализе четвертого утверждения и пришли к выводу, что оно верно. Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести окружность. Точка пересечения серединных перпендикуляров для отрезков, образованных этими тремя точками, будет центром окружности. Расстояние от этой точки до любой из исходных точек будет радиусом окружности.

Итак, восьмое высказывание верно. Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная окружность.

Надеюсь, ответ был подробным и обстоятельным. Если у тебя остались вопросы или что-то не ясно, пожалуйста, спроси! Я всегда готов помочь.