Около правильной треугольной пирамиды со стороной основания 6 см. и высотой 8 см. описан шар. найдите радиус шара

Проводим сечение пирамиды через боковое ребро и высоту. По соображениям симметрии это центральное сечение, и у нам надо найти на высоте АЕ Точку О, равно удаленную от В и А.

см чертеж, АЕ - это высота пирамиды, Е - проекция вершины пирамиды на основание, то есть ВЕ - радиус окружности, ОПИСАННОЙ вокруг основания пирамиды. В основании лежит правильный треугольник со стороной 6, то есть

ВЕ = (2/3)*6*корень(3)/2 = корень(12); АВ = корень(78);

На чертеже представлен сопособ простого вычисления R - АЕ продливается до окружности и К соединяется с В, получется подобный АВЕ треугольник с гипотенузой 2*R и катетом АЕ.

2*R = AB^2/AE = 78/8 = 39/4; R = 39/8; мда....

 

Теперь задача в обсуждении - там надо провести сечениие через высоту пирамиды перпендикулярно стороне основания. Получится равнобедренный треугольник с высотой 5 и радиусом вписанной окружности 1 (это радиус шара).

Рассматриваем 2 треугольника - один  - это просто "левая половина" всего треугольника сечения, то есть прямоугольный треугольник, составленный боковой стороной, половиной основания и высотой. У второго вершины - центр вписанной окружности, точка касания с боковой стороной и вершина пирамиды. У этого второго треугольника гипотенуза 4 (5 - 1 = 4), и один из катетов 1, поэтому второй - корень(15); у первого один из катетов - это половина стороны основания пирамиды, а второй - высота пирамиды 5. То есть

(a/2)/5 = 1/ корень(15); a = 10/ корень(15); V = a^2*H/3 = (100/15)*5/3 = 100/9

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать геометрические свойства.

1. Нам дана правильная треугольная пирамида. Правильная пирамида - это пирамида, у которой основание является правильным многоугольником, а все боковые грани равны и равноугольны. В данной задаче, основание пирамиды - треугольник со стороной 6 см.

2. Зная, что пирамида правильная, мы можем найти высоту пирамиды. Высота пирамиды - это отрезок, проведенный от вершины пирамиды до середины стороны ее основания и щеки с основанием под прямым углом. В данной задаче высота пирамиды равна 8 см.

3. Описанный шар - это шар, касающийся всех граней пирамиды. В данной задаче, шар касается всех боковых граней треугольной пирамиды.

4. Зная высоту пирамиды и сторону ее основания, мы можем найти радиус описанного шара. Радиус описанного шара равен половине диагонали основания пирамиды.

5. Для найдения диагонали основания пирамиды, нам необходимо воспользоваться теоремой Пифагора. Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. В данной задаче, треугольник, образованный главной диагональю основания пирамиды и половиной стороны основания, является прямоугольным треугольником.

6. По теореме Пифагора, катеты треугольника равны половине стороны основания пирамиды и высоте пирамиды. Чтобы найти длину главной диагонали (или гипотенузы) треугольника, мы должны сложить квадраты длин катетов, а затем найти квадратный корень от полученной суммы. В данной задаче, мы должны найти длину главной диагонали основания пирамиды.

7. Длина половины стороны основания пирамиды (половины стороны треугольника) равна 6 см / 2 = 3 см. Длина высоты пирамиды - 8 см.

8. Теперь мы можем найти длину главной диагонали основания пирамиды. Для этого, сначала посчитаем квадраты длины катетов. Квадрат длины половины стороны основания равен 3^2 = 9 см^2. Квадрат длины высоты равен 8^2 = 64 см^2. Затем сложим квадраты длин катетов: 9 + 64 = 73 см^2. Наконец, найдем квадратный корень от полученной суммы: √73 см.

9. Наконец, чтобы найти радиус описанного шара, мы должны разделить длину главной диагонали на 2, так как радиус - это половина диаметра шара. Длина главной диагонали равна √73 см, поэтому радиус описанного шара равен √73 см / 2.

Таким образом, мы нашли радиус шара, описанного около правильной треугольной пирамиды со стороной основания 6 см и высотой 8 см. Он равен √73 см / 2.