Одной из граней правильной треугольной пирамиды является треугольник со сторонами 4√3 см, 2√7 см и 2√7 см. Найдите объём пирамиды.

Для решения этой задачи нам понадобится использовать формулу для вычисления объема треугольной пирамиды, которая выглядит следующим образом: V = (1/3) * S * h, где V - объем пирамиды, S - площадь основания пирамиды, а h - высота пирамиды, проведенная из вершины пирамиды к основанию.

Для начала, нам нужно найти площадь основания пирамиды. Так как одной из граней пирамиды является треугольник, то мы можем использовать формулу Герона для вычисления площади треугольника. Формула Герона выглядит так: S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), где S - площадь треугольника, a, b, c - стороны треугольника, а p - полупериметр треугольника, который можно найти как p = (a + b + c) / 2.

В нашем случае, стороны треугольника равны 4√3 см, 2√7 см и 2√7 см. Полупериметр можно найти следующим образом: p = (4√3 + 2√7 + 2√7) / 2 = (4√3 + 4√7) / 2 = 2(√3 + √7).

Теперь, подставим значения в формулу Герона для вычисления площади основания пирамиды: S = √(2(√3 + √7) * (2(√3 + √7) - 4√3) * (2(√3 + √7) - 2√7) * (2(√3 + √7) - 2√7)) = √(2(√3 + √7) * 2√3 * 2√7 * 2√7) = √(2 * 3 * 2 * 7) = √(84) = 2√21.

Теперь, чтобы найти высоту пирамиды, нам понадобится использовать теорему Пифагора в проекции треугольника на плоскость основания пирамиды. Высоту пирамиды можно найти как h = √((a^2) - ((b/2)^2)), где a - длина стороны треугольника, b - длина основания треугольника.

В нашем случае, a = 4√3 см, а b = 2√7 см. Подставим значения в формулу: h = √((4√3)^2 - ((2√7/2)^2)) = √(16 * 3 - 4 * 7) = √(48 - 28) = √20 = 2√5.

Теперь, когда у нас есть площадь основания и высота, мы можем найти объем пирамиды, используя формулу V = (1/3) * S * h. Подставим значения в формулу: V = (1/3) * 2√21 * 2√5 = (2/3) * √21 * √5 = (2/3) * √(21 * 5) = (2/3) * √(105).

Таким образом, объем пирамиды равен (2/3) * √105 кубических сантиметров.