Один из углов треугольника равен а (а не равно 90) . Найдите угол между прямыми , содержащими высоты , проведенные из вершин двух других углов треугольника .(Обратите внимание , что придется разобрать два случая : a < 90 и a > 90)

Добрый день!

Чтобы решить задачу, нужно разобрать два случая:
1) когда угол а меньше 90 градусов (a < 90)
2) когда угол а больше 90 градусов (a > 90)

1) Рассмотрим случай, когда угол а меньше 90 градусов (a < 90).

Пусть АВС - треугольник, где АВ - основание, а D и Е - точки на сторонах ВС и AC соответственно. Проведем высоту АН из вершины А и высоту ВМ из вершины B.

Поскольку высота АН проведена из вершины А, она перпендикулярна стороне ВС. Аналогично, высота ВМ проведена из вершины B и перпендикулярна стороне АС.

Теперь введем вспомогательные обозначения:
- пусть γ - угол между прямыми, содержащими высоты, которые проведены из вершин двух других углов треугольника
- пусть β - угол между прямой ВМ и прямой АВ
- пусть α - угол между прямой АН и прямой АВ

Тогда у нас есть следующие утверждения:
- угол DEM составляет 90 градусов, так как высота ВМ перпендикулярна стороне АС
- угол AEN составляет 90 градусов, так как высота АН перпендикулярна стороне ВС

Теперь посмотрим на треугольник DEM. В нем угол EDM равен 180 - 90 - α = 90 - α, так как угол DEM равен 90 градусам.

Аналогично, в треугольнике AEN угол AEN равен 90 - β градусам.

Рассмотрим пару треугольников - АВС и АНМ:
- поскольку вершины Н, Е и А лежат на одной прямой ( высота АН является высотой треугольника АВС), сумма углов прямоугольного треугольника АНМ равна 180 градусам. Значит, α + (90- α) + γ = 180 градусов. В результате, 90 + γ = 180 градусов, откуда следует, что γ = 180 - 90 = 90 градусов.

Таким образом, угол γ между двумя прямыми, содержащими высоты, проведенные из вершин двух других углов треугольника, всегда равен 90 градусам, когда угол а меньше 90 градусов.

2) Рассмотрим случай, когда угол а больше 90 градусов (a > 90).

При а > 90 примерно так же, как и в первом случае, мы рассмотрим треугольник ABC с основанием AB, и проведем высоты AD и BE из вершин C и A соответственно.

Аналогично, введем вспомогательные обозначения:
- пусть гамма (γ) - угол между прямыми, содержащими высоты, которые проведены из вершин двух других углов треугольника
- пусть бета (β) - угол между прямой CD и прямой AB
- пусть альфа (α) - угол между прямой AE и прямой BC

Рассмотрим треугольник ABD. В нем угол ABD равен 180 - β градусам, так как угол ADB равен 180 градусам (сумма углов треугольника равна 180 градусам).

Рассмотрим треугольник ADE. В нем угол AED равен 90 градусам, так как высота AE перпендикулярна основанию BC.

Рассмотрим треугольник BCD. В нем угол CBD равен 90 - γ градусам, так как высота CD перпендикулярна основанию AB.

Из треугольника ADB мы знаем, что угол ADB + угол ABD + угол BDA = 180 градусов. Так как угол ADB равен 90 градусам, мы имеем: 90 + (180 - β) + γ = 180 градусов.

Раскрыв скобки и решив уравнение, получим: 270 - β + γ = 180. Сократим: γ - β = -90.

Так же рассмотрим треугольник ACB. Из этого треугольника мы знаем, что угол альфа + (180 - альфа) + (90 - γ) = 180 градусов.

Раскрыв скобки и решив уравнение, получим: 180 - альфа + 90 - γ = 180. Сократим: - альфа - γ = -90.

Из двух последних выражений получаем, что - α - γ = γ - β, следовательно α = β. Значит, угол α равен углу β.

Таким образом, угол γ между двумя прямыми, содержащими высоты, проведенные из вершин двух других углов треугольника, также равен углу β, когда угол а больше 90 градусов.