очень надо В треугольник с основанием AC= 14 см и высотой BD= 8 см вписан квадрат KLMN так, что сторона KN лежит на основании AC, а вершины L и M — соответственно на сторонах AB и BC. Определи длину стороны квадрата.

(Если в ответе получилось целое число, запиши в знаменателе 1.)
Длина стороны квадрата равна
см.

Для решения этой задачи нам нужно использовать свойства подобных треугольников и применить теорему Пифагора.

Давайте разберемся сначала с треугольником ABC. Мы знаем, что BD является высотой треугольника, поэтому он перпендикулярен к основанию AC и делит его пополам. Также, мы знаем, что KD является медианой треугольника, которая делит сторону AC также пополам. Из этого следует, что точка K – это середина стороны AC.

Вспомним, что вписанный квадрат означает, что его вершины касательны к сторонам треугольника. Из этого следует, что угол B делит сторону KD пополам и угол A делит сторону KC пополам. Так как K является серединой стороны AC, то угол B и угол A равны.

Пусть сторона квадрата равна х. Тогда, сторона треугольника KBA равна (14-х)/2 и сторона треугольника KBC равна (х+14)/2.

По свойству подобия треугольников, отношение длин сторон двух подобных треугольников равно. Таким образом, можно записать следующее уравнение:

(14 - х)/2 : (х + 14)/2 = KD : BD

Для нахождения KD и BD нам нужно применить теорему Пифагора. Из треугольника KBA мы можем найти длину стороны KD, используя теорему Пифагора:

KD^2 = (14-х)/2^2 + x^2

Аналогично, из треугольника KBC мы можем найти длину стороны BD:

BD^2 = (х+14)/2^2 + x^2

Подставляя значения KD и BD в уравнение отношения длин сторон подобных треугольников, получаем следующее уравнение:

((14-х)/2^2 + x^2) : ((х+14)/2^2 + x^2) = 8 : х

=> ((14-х)/4 + x^2) : ((х+14)/4 + x^2) = 8 : х

Упростим это выражение:

((14-х) + 4x^2) : ((х+14) + 4x^2) = 8 : х

(14-х) + 4x^2 = 8(x + 14)

14 - х + 4x^2 = 8x + 112

4x^2 - 9x - 98 = 0

Решим это квадратное уравнение. Для этого можем использовать формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

D = (-9)^2 - 4(4)(-98)

D = 81 + 1568

D = 1649

Так как дискриминант положителен, у нас есть два вещественных корня. Используем формулу для нахождения корней:

x = (-b ± √D) / 2a

x = (-(-9) ± √1649) / (2(4))

x = (9 ± √1649) / 8

x ≈ 11.64 см или x ≈ -2.14 см

Поскольку сторона квадрата не может быть отрицательной, отбрасываем второй корень и получаем, что сторона квадрата ≈ 11.64 см.

Таким образом, длина стороны квадрата равна примерно 11.64 см.