. Образующая конуса, равная 4корень3 см, наклонена к плоскости основания под углом 60°. Найдите высоту.

Добрый день! Рад представиться вам в роли вашего школьного учителя и помочь вам решить поставленную задачу.

Итак, у нас дана следующая информация: образующая конуса равна 4√3 см, а наклон конуса к плоскости основания составляет 60°. Наша задача - найти высоту конуса.

Для начала, давайте разберемся в том, что представляют собой образующая и высота конуса. Образующая - это отрезок, соединяющий вершину конуса с любой точкой на окружности его основания. А высота - это отрезок, соединяющий вершину конуса с основанием, перпендикулярный плоскости основания.

Теперь будем решать задачу. Для начала, обратимся к геометрической формуле, которая связывает образующую конуса, радиус его основания и высоту. Эта формула выглядит следующим образом:

объем конуса = (1/3) * π * r^2 * h,

где r - радиус основания конуса, h - его высота.

Обозначим образующую как l и радиус основания как r. Так как у нас дана образующая, а не радиус основания, нам нужно найти радиус, чтобы затем найти высоту. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит:

l^2 = r^2 + h^2,

где l - образующая, r - радиус основания, h - высота.

Мы знаем, что образующая равна 4√3 см, поэтому подставляем это значение в уравнение:

(4√3)^2 = r^2 + h^2.

Выполняем простые алгебраические вычисления:

16 * 3 = r^2 + h^2,
48 = r^2 + h^2.

Теперь посмотрим на информацию о наклоне конуса к плоскости основания под углом 60°. Это означает, что у нас есть прямоугольный треугольник, в котором угол между образующей и основанием - 60°, а стороной, образующей этот угол, является радиус. Также, мы знаем, что угол между образующей и высотой - 90°, так как высота - это перпендикуляр к плоскости основания. Используя эти сведения, мы можем представить нашу задачу следующим образом:

sin(60°) = r / l.

Теперь решим это уравнение:

sin(60°) = r / (4√3),
√3 / 2 = r / (4√3).

Выполняем простые алгебраические вычисления:

2 / 2 = 4 / 4,
1 / √3 = r / 4.

Мы можем умножить обе части уравнения на √3, чтобы избавиться от знаменателя:

1 = (r / 4) * √3,
1 = √3r / 4.

Умножаем обе части уравнения на 4:

4 = √3r,
4^2 = (√3)^2 * r^2,
16 = 3r^2,
r^2 = 16 / 3,
r^2 = (16 * 3) / 3,
r^2 = 48 / 3,
r^2 = 16.

Теперь мы знаем, что r^2 = 16, следовательно, r = 4.

Возвращаемся к уравнению, которое связывает образующую, радиус и высоту:

l^2 = r^2 + h^2.

Подставляем известные значения:

(4√3)^2 = 4^2 + h^2,
48 = 16 + h^2.

Вычитаем 16 из обеих частей равенства:

48 - 16 = 16 + h^2 - 16,
32 = h^2.

Теперь найдем квадратный корень из h^2:

√(32) = √(h^2),
√(2 * 16) = h,
√2 * √16 = h,
4√2 = h.

Таким образом, получаем, что высота конуса равна 4√2 см.

Я надеюсь, что мой ответ был понятен и полезен. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!