Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 116. Точка E — середина ребра SB. Найдите объём треугольной пирамиды EABC.

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать свойства геометрических фигур и формулу для объёма пирамиды.

Дано: объем правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 116.
Известно, что точка E - середина ребра SB.

Чтобы найти объем треугольной пирамиды EABC, нам понадобится найти одну измеренную сторону этой треугольной пирамиды.

Для этого проведем прямую EK, которая будет параллельна SD и AB. Точка K будет серединой ребра AD.

Рассмотрим треугольник SED. Так как точка E - середина ребра SB, а точка K - середина ребра AD, то сторона ED равна половине длины ребра DC, то есть ED = 1/2 * DC.

Также известно, что объем пирамиды SABCD равен 116. Так как пирамида является правильной, то все боковые грани равны между собой. Поэтому SED является подобной пирамидой EABC.

Чтобы найти объем треугольной пирамиды EABC, нужно использовать формулу для объема пирамиды:

V = (1/3) * S * h,

где V - объем пирамиды, S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

Так как SED и EABC являются подобными пирамидами, их объемы будут относиться, как кубы длин соответствующих сторон. То есть:

V(EABC) / V(SED) = (EK / ED)^3.

Так как ED = 1/2 * DC и EK = 1/2 * AK (так как K - середина ребра AD), то получим:

V(EABC) / V(SED) = (1/2 * AK) / (1/2 * DC)^3.

Упростим выражение:

V(EABC) / V(SED) = (AK / (1/2 * DC))^3.

Теперь заменим известные значения: объем пирамиды SABCD равен 116, поэтому V(SED) = 116. Также, пирамида SED является подобной пирамиде EABC, поэтому ее объем равен V(EABC).

Получим:

V(EABC) / 116 = (AK / (1/2 * DC))^3.

Теперь найдем значение AK и DC.

Треугольник ABC - прямоугольный, поэтому одна из его сторон может быть найдена по теореме Пифагора. По теореме Пифагора:

AB^2 + BC^2 = AC^2.

Значение AC известно, так как это высота пирамиды SABCD, то есть AC = √116 = 2√29.

Далее, найдем значение AK. Так как AK - это половина от BC, а BC = AC / √2 (так как ABC - прямоугольный и AD - диагональ), то AK = (AC / √2) / 2 = AC / (2√2) = (2√29) / (2√2) = √29 / √2 = (√2 * √29) / 2 = √58 / 2 = (√2 * √29) / 2 = √58 / 2 = √2 * √29 * (1/2) = (√2 / 2) * √29.

Теперь найдем значение DC. Так как DC = 2 * AD, то DC = 2 * AC = 2 * 2√29 = 4√29.

Подставим найденные значения в уравнение:

V(EABC) / 116 = (AK / (1/2 * DC))^3.

V(EABC) / 116 = (((√2 / 2) * √29) / (1/2 * 4√29))^3.

Упростим выражение:

V(EABC) / 116 = ((√2 / 2) / (√29 / 4√29))^3.

V(EABC) / 116 = ((√2 / 2) / (1/4))^3.

V(EABC) / 116 = (√2 / 2) * (4/1))^3.

V(EABC) / 116 = (√2 / 2) * 4)^3.

V(EABC) / 116 = (√2 * 4 / 2)^3.

V(EABC) / 116 = (2√2)^3.

V(EABC) / 116 = 8√2^3.

V(EABC) / 116 = 8 * 2√2.

V(EABC) / 116 = 16√2.

Теперь умножим обе части уравнения на 116, чтобы изолировать V(EABC):

V(EABC) = 16√2 * 116.

V(EABC) = 1856√2.

Таким образом, объем треугольной пирамиды EABC равен 1856√2.