O(0;0;0) , A(-2;3;-8)
Найти геометрическое место точек равноудаленных от начала координат и точки A

Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка 0А - это плоскость, проведенная перпендикулярно отрезку 0А через его середину.

Уравнение искомой плоскости:  2x -3y + 8z + 38,5 = 0.

Объяснение:

Любой направляющий вектор прямой 0А представляет собой нормальный вектор плоскости α, так как он ненулевой и лежит на прямой 0А, перпендикулярной к плоскости α. Таким образом, нахождение координат нормального вектора плоскости α (вектора, перпендикулярного этой плоскости) сводится к нахождению координат направляющего вектора прямой a.

Каноническое уравнение прямой, проходящей через две точки:

(x-x1)/(x2-x1) = (y-y1)/(y2-y1) = (z-z1)/(z2-z1).

Направляющий вектор этой прямой:

p{a1=x2-x1;a2=y2-y1;a3=z2-z1}.

В нашем случае точка М - середина отрезка 0А и имеет координаты М(-1;1,5;-4).

Каноническое уравнение прямой 0А: x/-2 = y/3 = z/-8. =>

Направляющий вектор прямой 0А: p{-2;3;-8} = n - вектор нормали искомой плоскости.

Уравнение искомой плоскости: -2(x+1)+3(y-1,5)-8(z+4) = 0 или

2x -3y + 8z + 38,5 = 0.

Проверим на точке М: 2·(-1) - 3·(1,5) + 8·(-4) + 38,5 = -2 - 4,5 - 32 = -38,5.

-38,5+38,5 = 0.

Можно проверить решение, найдя точки пересечения искомой плоскости с осями координат. Эти точки должны быть на равном расстоянии от начала координат и точки А. Точка пересечения искомой плоскости с осью 0y - Точка К(0;77/6;0). Точка пересечения искомой плоскости с осью 0х - Точка Р(-19,25;0;0). Точка пересечения искомой плоскости с осью 0z - Точка Т(0;0;-4,8125).