НУЖНЫ РЕШЕНИЯ
Вариант 1

1.Через точку О пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна 2см, проведена прямая ОМ, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки М до вершин квадрата, если ОМ = 3см. (ответ: √11см)

2.Отрезок АЕ перпендикулярен к плоскости равностороннего треугольника АВС. Стороны треугольника 6см, АЕ = 3см. Найдите расстояние от концов отрезка АЕ до прямой ВС. (ответ: 3√3см ; 6см )

3. Плоскости α и β пересекаются по прямой АВ. В плоскости β из точки К проведен перпендикуляр КМ к прямой АВ и из той же точки К проведен перпендикуляр КD к плоскости α. Докажите, что угол КМD – линейный угол двугранного угла КАВD.

4. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 4см, 3см, 5см. (ответ: 5√2 см)

Вариант 2

1.Диагонали квадрата пересекаются в точке К. К плоскости квадрата через точку К проведен перпендикуляр КМ равный 5см. Найдите расстояние от точки М до вершин квадрата, если сторона квадрата равна 4см. (ответ:√33)

2.Отрезок АD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника АВС. Стороны треугольника АВ=АС=6см, ВС=8 см, АD = 4см. Найдите расстояние от концов отрезка АD до прямой ВС. (ответ: 2√5см; 6см)

3.В тетраэдре АВСD все ребра равны, точка Е – середина ребра ВD. Докажите, что угол АЕС- линейный угол двугранного угла СВDА.

4.Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 4см, 5см, 7см. (ответ: 3√10см)

Вариант 1:

1. Для решения этой задачи мы можем использовать теорему Пифагора. Поскольку диагональ квадрата равна стороне умноженной на √2, то мы можем найти сторону квадрата. Сторона квадрата равна 2 см, значит диагональ равна 2√2 см.

Мы знаем, что ОМ = 3 см, а ОК = ОМ - ОК = 2√2 - 3.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ОКМ:
(2√2 - 3)^2 + МК^2 = 2√2^2

Раскроем скобки:
4*2 - 12√2 + 9 + МК^2 = 8

Мы можем вычесть 8 из обеих сторон уравнения:
МК^2 = 8 - 36 + 16√2

Поскольку диагональ равна √11см, значит МК = √11см.

2. Для решения этой задачи мы также можем использовать теорему Пифагора. Поскольку треугольник АВС равносторонний, то его высота будет проходить через центр и перпендикулярна основанию. Это значит, что АВ делится на два равных отрезка, каждый из которых равен половине стороны треугольника.

Мы знаем, что сторона треугольника равна 6 см, значит АВ = 3 см. Зная, что АЕ = 3 см, мы можем найти расстояние от АЕ до прямой ВС.

Используем теорему Пифагора в треугольнике ВАЕ:
(3/2)^2 + EВ^2 = 6^2

Раскрываем скобки:
9/4 + EВ^2 = 36

Вычитаем 9/4 из обеих сторон уравнения:
EВ^2 = 36 - 9/4

EВ^2 = (144 - 9)/4
EВ^2 = 135/4

Извлекаем квадратный корень и получаем EВ = √(135/4) = (9√15)/2

Теперь мы можем найти расстояние от АЕ до прямой ВС, которое равно 2 раза расстоянию EВ:

AE = 2 * (9√15)/2 = 9√15 см

Также мы можем найти длину ВС, используя теорему Пифагора в треугольнике ВСА:

ВС^2 = ВА^2 + АС^2
ВС^2 = 9 + 9 = 18
ВС = √18 = 3√2 см.

3. Для доказательства этой задачи мы можем использовать свойство двугранного угла, которое гласит, что сумма линейных углов двугранного угла равна 180 градусов.

У нас есть заданные плоскости α и β, пересекающиеся по прямой АВ. Мы также знаем, что угол КМD – линейный угол двугранного угла КАВD.

Вспомним, что углы, образованные пересекающимися прямыми и параллельными прямыми, являются соответственными.

Поэтому у нас есть две пары соответственных углов:

- КМD и КАВ (по теореме о перпендикулярных прямых)
- КМD и КДА (по теореме о параллельных прямых)

Таким образом, угол КМD должен быть равен сумме углов КАВ и КДА. Поскольку сумма углов КАВ и КДА равна 180 градусам, мы можем сделать вывод, что угол КМD – линейный угол двугранного угла КАВD.

4. Чтобы найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, мы можем использовать теорему Пифагора. Измерения параллелепипеда равны 4 см, 3 см и 5 см.

Мы можем использовать основание прямоугольного треугольника с катетами 4 см и 3 см, чтобы найти гипотенузу, которая будет диагональю прямоугольного параллелепипеда.

Используем теорему Пифагора в треугольнике с катетами 4 см и 3 см:

4^2 + 3^2 = диагональ^2
16 + 9 = диагональ^2
25 = диагональ^2

Извлекаем квадратный корень и получаем:
диагональ = √25 = 5 см

Итак, диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 5 см.

Вариант 2:

1. Опять же, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы решить эту задачу. Диагонали квадрата пересекаются в точке К. Мы знаем, что диагонали квадрата равны стороне умноженной на √2, поэтому диагональ квадрата равна 4√2 см.

Мы также знаем, что ОМ = 5 см. Мы можем использовать теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ОКМ:

(4√2)^2 + МК^2 = 5^2
32 + МК^2 = 25
МК^2 = 25 - 32
МК^2 = -7

Так как квадраты не могут быть отрицательными, то данная задача не имеет решения.

2. Для решения этой задачи мы опять можем использовать теорему Пифагора. Отрезок АD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника АВС. Измерения треугольника – АВ = АС = 6 см и ВС = 8 см.

Мы знаем, что АD = 4 см. Чтобы найти расстояние от концов отрезка АD до прямой ВС, нам понадобится найти расстояние от точки пересечения АВ и ВС до прямой ВС.

Используем теорему Пифагора в треугольнике ВАC:
6^2 + 6^2 = ВС^2
36 + 36 = ВС^2
72 = ВС^2
ВС = √72 = 6√2

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике ВСМ:
(6√2)^2 + МС^2 = 8^2
72 + МС^2 = 64
МС^2 = 64 - 72
МС^2 = -8

Так как квадраты не могут быть отрицательными, то данная задача не имеет решения.

3. Для доказательства этой задачи мы можем использовать свойство двугранного угла, которое гласит, что сумма линейных углов двугранного угла равна 180 градусов.

У нас есть тетраэдр АВСD, где все ребра равны. Мы также знаем, что E – середина ребра BD.

Таким образом, у нас есть две пары равных углов:

- углы AСE и ВСD (по свойству двогранного угла)
- углы АЕС и СВD (по свойству двугранного угла)

Это означает, что угол АЕС должен быть равен углу СВD и их сумма должна быть равна 180 градусам.

Таким образом, угол АЕС – линейный угол двугранного угла СВDА.

4. Чтобы найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, мы можем использовать теорему Пифагора. Измерения параллелепипеда равны 4 см, 5 см и 7 см.

Мы можем использовать основание прямоугольного треугольника с катетами 4 см и 5 см, чтобы найти гипотенузу, которая будет диагональю прямоугольного параллелепипеда.

Используем теорему Пифагора в треугольнике с катетами 4 см и 5 см:

4^2 + 5^2 = диагональ^2
16 + 25 = диагональ^2
41 = диагональ^2

Извлекаем квадратный корень и получаем:
диагональ = √41

Таким образом, диагональ прямоугольного параллелепипеда равна √41.