Найти точку пересечения прямой x-12/4=y-9/3=z-1/1 с плоскостью 3х+5у-z-2=0
​

Для того чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, нужно решить систему уравнений, включающую уравнение прямой и уравнение плоскости.

Первым шагом воспользуемся уравнением прямой:

x - 12/4 = y - 9/3 = z - 1/1

Мы заметим, что все дроби можно привести к общему знаменателю. В данном случае это 4:

x - 3 = y - 4 = z - 4

Теперь у нас есть уравнение прямой, где все координаты выражены относительно x. Значит, мы можем взять одно из уравнений и выразить основываясь на нем одну переменную.

Для примера, возьмем y - 4 = x - 3. Рассмотрим другое уравнение прямой:

y - 4 = z - 4

Теперь мы можем выражать z относительно y, а потом выразить x относительно y и z.

Подставим y - 4 в уравнение плоскости:
3x + 5(y - 4) - z - 2 = 0

Раскроем скобки:

3x + 5y - 20 - z - 2 = 0

Теперь сгруппируем переменные:

3x + 5y - z = 22

Теперь у нас получилось два уравнения:

3x + 5y - z = 22 (уравнение плоскости)
y - 4 = z - 4 (выражение y относительно z из уравнения прямой)

Мы можем взять это выражение и подставить в уравнение плоскости:

3x + 5(z - 4) - z = 22

3x + 5z - 20 - z = 22

4x + 4z = 42

Разделим оба коэффициента на 4:

x + z = 10.5

Теперь у нас есть система уравнений:

3x + 5y - z = 22
x + z = 10.5

Мы можем использовать метод подстановки или метод исключения, чтобы найти значения переменных x, y и z.

Выберем метод исключения для решения системы:

Умножим второе уравнение на 3:

3(x + z) = 3(10.5)
3x + 3z = 31.5

Теперь возьмем это уравнение и вычитаем из него первое:

(3x + 3z) - (3x + 5y - z) = 31.5 - 22

3x + 3z - 3x - 5y + z = 31.5 - 22

4z - 5y + 2z = 9.5

6z - 5y = 9.5

Теперь мы имеем систему из двух уравнений:

4x + 4z = 42
6z - 5y = 9.5

Теперь мы можем решить эту систему, используя метод подстановки или метод исключения. Предположим, что мы используем метод исключения.

Умножим первое уравнение на 1.5:

1.5(4x + 4z) = 1.5(42)
6x + 6z = 63

Теперь вычтем это уравнение из второго:

6z - 6x - 5y = 9.5 - 63

6z - 6x - 5y = -53.5

Мы получили новую систему уравнений:

6z - 6x - 5y = -53.5
6z - 5y = 9.5

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

(6z - 6x - 5y) - (6z - 5y) = -53.5 - 9.5

-6x = -63

Теперь разделим на -6:

x = 63/6

x = 10.5

Теперь подставим это значение в одно из уравнений:

6z - 5y = 9.5

6z - 5y = 9.5

6z - 5y = 9.5

Теперь у нас есть два уравнения:

6z - 5y = 9.5
x = 10.5

Мы можем использовать метод подстановки или метод исключения, чтобы найти значения y и z.

Подставим значение x в первое уравнение:

6z - 5y = 9.5
10.5 = 10.5

Теперь у нас есть одно уравнение:

6z - 5y = 9.5

Мы можем выразить z относительно y:

z = (9.5 + 5y)/6

Теперь у нас есть выражение для z относительно y и значение x:

z = (9.5 + 5y)/6
x = 10.5

Теперь мы можем найти точку пересечения прямой и плоскости. Мы знаем, что x = 10.5, поэтому подставим это значение в уравнение прямой:

x - 3 = y - 4 = z - 4

10.5 - 3 = y - 4 = (9.5 + 5y)/6 - 4

7.5 = y - 4 = (9.5 + 5y)/6 - 4

Теперь решим уравнение относительно y. Умножим все части уравнения на 6, чтобы избавиться от дробей:

45 = 6y - 24 = 9.5 + 5y - 24

45 = 6y - 24 = 9.5 + 5y - 24

21 = 11y/6

Разделим обе части уравнения на 11/6:

y = 3.8182

Теперь мы можем найти z, подставив значения x и y в выражение для z, которые мы вывели ранее:

z = (9.5 + 5y)/6

z = (9.5 + 5(3.8182))/6

z = (9.5 + 19.091)/6

z = 28.591/6

z = 4.7652

Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости задана значениями x = 10.5, y = 3.8182 и z = 4.7652.