Найти точку пересечения медиан треугольника АВС, где A(1; 4; -3), B(2; -1; 9), C(0; 3; -6).

Чтобы найти точку пересечения медиан треугольника АВС, мы сначала должны найти координаты вершин медиан. Медианы треугольника -- это линии, которые соединяют каждую вершину с серединой противоположной стороны.

1. Найдем середины сторон треугольника АВС:
Середина стороны АB:
x = (x₁ + x₂) / 2 = (1 + 2) / 2 = 1.5
y = (y₁ + y₂) / 2 = (4 + (-1)) / 2 = 1.5
z = (z₁ + z₂) / 2 = (-3 + 9) / 2 = 3

Середина стороны АС:
x = (x₁ + x₂) / 2 = (1 + 0) / 2 = 0.5
y = (y₁ + y₂) / 2 = (4 + 3) / 2 = 3.5
z = (z₁ + z₂) / 2 = (-3 + (-6)) / 2 = -4.5

Середина стороны ВС:
x = (x₁ + x₂) / 2 = (2 + 0) / 2 = 1
y = (y₁ + y₂) / 2 = (-1 + 3) / 2 = 1
z = (z₁ + z₂) / 2 = (9 + (-6)) / 2 = 1.5


2. Теперь у нас есть середины сторон треугольника:
M₁(1.5, 1.5, 3) - середина стороны АВ
M₂(0.5, 3.5, -4.5) - середина стороны АС
M₃(1, 1, 1.5) - середина стороны ВС

3. Чтобы найти точку пересечения медиан, нам нужно найти среднее арифметическое координат середин сторон:
x = (x₁ + x₂ + x₃) / 3 = (1.5 + 0.5 + 1) / 3 = 1
y = (y₁ + y₂ + y₃) / 3 = (1.5 + 3.5 + 1) / 3 = 2.333
z = (z₁ + z₂ + z₃) / 3 = (3 + (-4.5) + 1.5) / 3 = 0

Таким образом, точка пересечения медиан треугольника АВС имеет координаты P(1, 2.333, 0).