Найти отношение биссектрис равнобедренного прямоугольного треугольника.

Пусть биссектриса AE проведена к основанию BC равнобедренного треугольника ABC. Треугольник AEB будет прямоугольным, так как биссектриса AE будет одновременно являться его высотой. Боковая сторона AB будет гипотенузой этого треугольника, а BE и AE - его катетами.

По теореме Пифагора (AB^2) = (BE^2)+(AE^2). Тогда (BE^2) = sqrt((AB^2)-(AE^2)). Так как AE и медиана треугольника ABC, то BE = BC/2. Следовательно, (BE^2) = sqrt((AB^2)-((BC^2)/4)).

Если задан угол при основании ABC, то из прямоугольного треугольника биссектриса AE равна AE = AB/sin(ABC). Угол BAE = BAC/2, так как AE - биссектриса. Отсюда, AE = AB/cos(BAC/2).

Пусть теперь проведена высота BK к боковой стороне AC. Эта высота уже не является ни медианой, ни биссектрисой треугольника. Для вычисления ее длины существует формула Стюарта.

Периметр треугольника - это сумма длин всех его сторон P = AB+BC+AC. А его полупериметр равен половине суммы длин всех его сторон: P = (AB+BC+AC)/2 = (a+b+c)/2, где BC = a, AC = b, AB = c.

Формула Стюарта для длины биссектрисы, проведенной к стороне c (то есть, AB), будет иметь вид: l = sqrt(4abp(p-c))/(a+b).

Из формулы Стюарта видно, что биссектриса, проведенная к стороне b (AC), будет иметь такую же длину, так как b = c.