1. Геометрия
  2. Найти косинусы острых углов

Найти косинусы острых углов прямоугольного треугольника, зная, что радиус описанной окружности относится к радиусу вписанной окружности, как 5: 2.

лера2154 лера2154    1   22.05.2019 16:00    0

Ответы
лэлаЭж лэлаЭж  18.06.2020 03:31
Мое решение не соответствует уровню 5-9 кл., который заявил Автор, но предложу как вариант.

Чертеж мне  принципе не нужен - он мало информативен, но прилагаю.
1. По теореме синусов  \frac{c}{sinC} = \frac{b}{sinB} = \frac{a}{sinA}=2R
Тогда
c=2Rsin90^o=2R,\ b=2RsinB,\ a=2RsinA
2. Для прямоугольного треугольника справедлива формула r=\frac{a+b-c}{2}
r=\frac{2R(sinA+sinB-1)}{2}
3. Из условия следует. что 2R=5r. Поэтому
r=\frac{5r*(sinA+sinB-1)}{2}\ = sinA+sinB-1=\frac{2}{5}\\
sinA+sinB=\frac{7}{5}\\
4. Для острых углов А и В прямоугольного треугольника в силу формул приведения верны равенства: sin А = cos B и sin B  = cos A. Тогда
sinA+cosA=\frac{7}{5}\\ \sqrt2cos(A-45^o)=\frac{7}{5}\\ cos(A-45^o)=\frac{7}{5\sqrt2}\\
A=45^o+arccos\frac{7}{5\sqrt2}
5. Для отыскания косинусов острых углов займемся тригонометрией:
cosA=cos(45^o+arccos\frac{7}{5\sqrt2})=\\=cos45^o*cos(arccos\frac{7}{5\sqrt2})-sin45^o*sin(arccos\frac{7}{5\sqrt2})=
=\frac{\sqrt2}{2}*\frac{7}{5\sqrt2}-\frac{\sqrt2}{2}*sin(arccos\frac{7}{5\sqrt2})=\\=\frac{7}{10}-\frac{\sqrt2}{2}*\sqrt{1-(\frac{7}{5\sqrt2})^2}}=\\=\frac{7}{10}-\frac{\sqrt2}{2}*\frac{1}{5\sqrt2}=\\ =\frac{7}{10}-\frac{1}{10}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\\\\
cosB=sinA=\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=\frac{4}{5}
ответ: cosA=3/5; cosB=4/5.

P.S. Полученный ответ (пифагорова тройка) наводит на мысль, что существует более простое решение.
Найти косинусы острых углов прямоугольного треугольника, зная, что радиус описанной окружности относ
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Геометрия
aleks1yus aleks1yus  12.12.2020 17:37
Площа бічної поверхні правильної трикутної призми в 12 разів більше за площину основи. Визначити кут між діагоналлю бічної грані і площиною основи призми....
12312312712 12312312712  12.12.2020 17:40
в параллелограмме ABCD a=30 градусов ab=7 bc=5. надо найти скалярные произведения (AB;AD), (AB;CD), (BC;AD)...
RasDua RasDua  12.05.2021 07:14
Длина одной стороны треугольника равна 20см, а длины медиан проведенных к двум другим сторонам равны 30 см и 48 см. Найдите площадь треугольника​...
Александр3000 Александр3000  12.05.2021 07:14
Уравнение сферы задается следующим образом: x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 6^y +6 = 0 a) Найдите центр и радиус сферы. б) При каком значении n точка A (-1; 3; n) лежит на поверхности...
еваматвиенко еваматвиенко  12.05.2021 07:13
В треугольнике с основанием 15 см проведен отрезок, параллельный основанию. найдите длину отрезка, если площадь полученной при этом трапеции составляет 3/4 - ую часть...
MisterPOR MisterPOR  20.10.2020 03:52
Idite vse nahuy! suki blyat!...
masha1373 masha1373  20.10.2020 03:52
2) Промінь ск ділить кут АСВ на два кути, причому кут Аск на 30° більний ва кут КСВ. Знайдіть кут між бісектрисоюкута АСві променем ск, якщо кут АСВ дорівнює 100°.​...
Агентство10203040 Агентство10203040  20.10.2020 03:52
Тыгыздыгы жоғары елдер және тыгыздыгы төмен елдер. Боливия, бонгладеш, Намибия, Бельгия, Пакистан, Ботсвана. Теез казир ге кере​...
арина1376 арина1376  28.07.2019 12:20
Пусть а-один из острых углов,образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой.сумма градусных мер всех тупых углов ,образовавшихся при этом пересечении,равна...
Jicker Jicker  28.07.2019 12:20
Цилиндірдің табан радиусы r,биіктігі h: 1)r=4,h=4.2)r=3,h=4 деп алып,оның осьтік қимасының ауданын,бүйір беті мен толық бетінің аудандарын және көлемін табыңдар....

Популярные вопросы