Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, если площадь боковой грани равна 20√3, а окружность вписанная в основание имеет радиус 4

Высота равна 3 ед

Объяснение:

В основании правильной треугольной пирамиды SABC лежит правильный (равносторонний) треугольник ABC. Высота SO правильной треугольной пирамиды проектируется в центр вписанной в △ABC и описанной около △ABC окружности ( в равностороннем треугольнике они совпадают).

r=OD=4 ед- по условию.

Радиус вписанной окружности в равностороннем треугольнике:

a - сторона △ABC.

а = BC = r • 2√3 = 4 • 2√3 = 8√3 ед

Площадь боковой грани (площадь треугольника) вычисляется по формуле:

где SD - высота боковой грани (апофема пирамиды). SD⟂BC.

S=20√3 - по условию

Следовательно:

½ • 8√3 • SD = 20√3

SD = 20 : 4 = 5 ед

Поскольку высота SO перпендикулярна к площади основания (△ABC), то она перпендикулярна к любой прямой, принадлежащей основанию. => SO⟂OD.

В прямоугольном треугольнике SOD(∠O=90°) по теореме Пифагора найдём катет SO:

SO² = SD²-OD² = 5²-4² = 25-16 = 9

SO = √9 = 3 ед