Найдите все значения к, при каждом из которых прямая у=кх имеет с графиком функции у=х^2+4 ровно одну общую точку.

просто приравниваете

k*x = x^2 + 4; 

x^2 - k*x + 4 = 0;

Если это квадратное уравнение имеет ровно один корень, то это как раз то что надо.

А один корень тогда, когда это полный квадрат. То есть к = 4 или -4. 

В самом деле, это можно и так записать - 

(x - k/2)^2 = k^2/4 - 4; и полный квадрат получается, если правая часть равна нулю, то есть k^2 = 16; 

Например, прямая y = 4*x в точке x= 2 равна 8, и x^2 + 4 = 8; больше нет общих точек. То же самое y = -4*x в точке x= -2 равна 8, и x^2 + 4 = 8;

x^2+4=kx условие общей точки

x^2-kx+4=0

Чтобы данное уравнение имело одно решение D=0

D=k^2-16=0

k1=4

k2=-4