Найдите уравнение плоскости, проходящую через точку M (3,-2,1) и параллельную векторам L(1,-2,4) и M(-3,0,4)

Даны точка M (3,-2,1) и векторы l(1,-2,4) и m(-3,0,4)

Для начала находим координаты вектора, перпендикулярного искомой плоскости. Таковым является векторное произведение заданных векторов:

 i         j        k |         i          j

1       -2       4 |          1        -2

-3       0        4 |        -3        0 =  -8i - 12j + 0i - 4j -0i - 6k = -8i - 16j - 6k.

Координаты (-8; -16; -6). Вспомним, что в уравнении плоскости Ax+By+Cz+D=0 вектор (A;B;C) является вектором, перпендикулярной заданной плоскости. Поэтому искомое уравнение имеет вид -8x - 16y - 6z + D = 0 .

Остается найти свободный коэффициент D - его найдем из условия, что плоскость проходит через точку M(3; -2; 1). Подставляем значения в уравнение:

-8*3-16*(-2)-6*1+D = 0

D = 24-32+6 = -2

Искомое уравнение -8x-16y-6z-2=0.

Можно сократить на -2:  4x+8y+3z+1=0.