Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если известна сторона основы а, угол альфа и два угла бетта

Так как две грани одинаково наклонены к основанию, то проекция ребра PL на основание - это биссектриса угла α.

Отрезок MN = a*tg(α/2).

Высота РН =  a*tg(α/2)/ tg(β).

Боковое ребро РМ - оно же и высота боковой грани PML - равно:

РМ = MN / cos(β) = a*tg(α/2)/cos(β).

Катет основания СМ =  a*tg(α).

Гипотенуза CL =  a/cos(α).

Высота PS грани CPL равна длине ребра РМ по равенству их проекций: MN = NS.

Теперь можно   определить площади боковых граней.

S(CPM) = (1/2)(a*tg(α))* a*tg(α/2)/ tg(β) =  (a²/2)*tg(α)*tg(α/2)/ tg(β).

S(PML) = (1/2)a*(a*tg(α/2)/cos(β)) =  (a²/2)*tg(α)*tg(α/2)/cos(β).

S(CPL) = (1/2)(a/cos(α))* (a*tg(α/2)/cos(β)) =  (a²/(2cos(α))*(tg(α/2)/cos(β)).

Осталось сложить:

Sбок = (a²/2)((tg(α/2)/tg(β))+ (tg(α/2)/cos(β)) + (tg(α/2)/(cos(α)*cos(β))).