Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 2√3, а периметр равен 3(1+ √3).

Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 2√3, а периметр равен 3(1+ √3).

Дано:   ∠C =90° ,  P =a+b+c = 3(1 + √3) ,где а и b _катеты ,                                  c = 2√3  (гипотенуза).

- - - - -

∠A - ?  , ∠B - ?              

" решение "  :     пусть  ∠A = α  ⇒ a =c*sinα  , b =c*cosα  

* * * очевидно:  sinα > 0 ;  cosα > 0 * * *

c*sinα + c*cosα + c = 3(1 + √3)    || c =2√3 |  ⇔

2√3 (sinα + cosα) +2√3 =3(1 + √3) ⇔2√3( sinα + cosα) = √3 + 3 ⇔

2√3(sinα + cosα ) =√3( 1 +√3) ⇔ sinα + cosα =(1 +√3 ) /2 ⇔

(sinα + cosα)² = ( (1 +√3 ) /2 )² ⇔sin²α + cos²α+2sinα*cosα = 1 +(√3 ) /2 ⇔

1 +sin2α = 1 +(√3) /2 ⇔ sin2α = (√3) /2  ⇒ 2α = 60° или 2α = 120°

α = 30°  или  α = 60°

∠A = α = 30°  ;  ∠B = 90° - ∠A = 90° - 30° = 60°

или  α = 60°

∠A = α = 60° ;  ∠B = 90° - ∠A = 90° - 60° = 30°

ответ :  ∠A = 30° ; ∠B = 60° или наоборот ∠A = 60° ; ∠B = 30° .

Решение смотрите во вложении