. На стороне BC треугольника ABC отметили точку P так, что BP : PC = 5 : 6. Через точку P провели прямую, которая параллельна стороне AC треугольника и пересекает сторону AB в точке N. Найдите сторону AC, если PN = 15 см.

Треугольники BPN и BCA подобны, так как у них ∠ABC - общий, ∠BPN = ∠BCN как соответственные углы при параллельных прямых AC и NP и секущей BC. Значит BC:BP = AC:NP. BC:BP = (BP + PC):BP = 1 + PC:BP = 1 + 6/5 = 11/5

AC:NP = 11:5

AC = NP * 11/5 = 33 см

ответ: AC = 33 см.

Для решения данной задачи, нам понадобится знать свойство параллельно пересекающихся прямых. Если две прямые параллельны, а на одной из них есть точка пересечения с другой прямой, то отрезки, образованные на прямой, заключающие между точкой пересечения и точками пересечения с параллельной прямой, имеют пропорциональные отношения.

В данной задаче у нас есть отрезок PN, который пересекает прямую AC, параллельную стороне BC треугольника ABC. Мы знаем, что BP : PC = 5 : 6. Давайте обозначим длину отрезка BC как x.

Так как BP : PC = 5 : 6, то мы можем записать отношение следующим образом: BP = 5x/11 и PC = 6x/11.

Теперь давайте рассмотрим треугольник BPN. В нем у нас уже есть две известные стороны: BP и PN. Обозначим длину стороны BN как y.

Используем свойство пропорциональности отрезков на параллельных прямых:

BN : NP = BC : PC

Заменим известные значения:

y : 15 = x : (6x/11)

Теперь, чтобы определить сторону AC, нам нужно найти значение x. Выразим x из данного уравнения:

y/15 = 11/6

Умножим обе части уравнения на 15:

y = (11/6) * 15

y = 27.5

Таким образом, мы нашли сторону BN, которая равна 27.5 см. Однако, в задаче нас просят найти сторону AC. Заметим, что сторона AC равна сумме сторон AN и NC.

Становится ясно, что сторона AN равна y см или 27.5 см.

Теперь осталось найти длину отрезка NC. Обратимся снова к свойству пропорциональности отрезков:

BN : NC = BP : PC

Подставим известные значения:

27.5 : NC = (5x/11) : (6x/11)

Домножим обе части уравнения на 11:

27.5 * (6x/11) = 5x

(165/11) * x = 5x

Перенесем 5x на одну сторону:

0 = 5x - (165/11) * x

Домножим обе части уравнения на 11, чтобы избавиться от знаменателя:

0 = 55x - 165

Перенесем 165 на другую сторону:

55x = 165

x = 3

Таким образом, мы нашли сторону BC, которая равна 3 см. Но мы искали сторону AC.

AC = AN + NC = 27.5 + (6x/11) = 27.5 + (6 * 3/11) = 27.5 + 1.64 = 29.14 см.

Итак, сторона AC равна 29.14 см.