На рисунке окружность вписана вчетырехугольник abcd (касающаяся всех егосторон). докажите, что ab + cd = ad + bc.​

На рисунке вопроса четырехугольник похож на ромб. В ромб можно вписать окружность, но и в некоторые другие четырехугольники - тоже.

Объяснение:  

 Стороны четырехугольника, в который вписана окружность, - касательные к ней.  

 Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. (По т. о касательных)

 Примем отрезки касательных из т. А равными а, из т.В равными b, из т. С - равными с и из точки Д равными d. ( см. рисунок в приложении),

Тогда АВ=а+b, СD=с+d ⇒ АВ+СD=a+b+c+d

Аналогично ВС= b+c, АD=a+d ⇒ BC+AD=a+b+c+d. ⇒

АВ+СD=BC+AD - доказано.

Вывод: суммы длин противоположных сторон четырехугольника, описанного около окружности, равны.

Или иначе: если суммы длин противоположных сторон четырехугольника равны, в него можно вписать окружность.