На плоскости задан правильный 100-угольник. сколько ещё можно указать правильных многоугольников, выбирая вершины из числа вершин заданного многоугольника​

6. Правильные 4-, 5-, 10-, 20-, 25-, 50- угольники.

Объяснение:

Если указывать правильный n-угольник на данных вершинах, то между парами соседних вершин нового многоугольника будет пропущено одинаковое количество k вершин старого многоугольника (выбираем вершины через k). С учетом того, что всего вершин было 100,

n * (k + 1) = 100.

n > 2 (число вершин в новом многоугольнике - n)

100 = 2 * 2 * 5 * 5 = 2² * 3²

Всего разложений на два множителя с учетом порядка:

3 * 3 = 9 (в точности количество различных делителей)

Среди них не подходят те, в которых n=1 или n=2 (они, очевидно, встречаются и ровно по одному разу) и n=100 (исходный 100-угольник). Итого 6 правильных многоугольников.

Можно получить этот же ответ в явном виде.

Распишем всевозможные разложения на два множителя (с учетом порядка) числа 100:

100 = 1 * 100 - n=1, k=99 - не подходит (n > 2)

100 = 2 * 50 - n=2, k=49 - не подходит (n > 2)

100 = 4 * 25 - n=4, k=24 - подходит

100 = 5 * 20 - n=5, k=19 - подходит

100 = 10 * 10 - n=10, k=9 - подходит

100 = 20 * 5 - n=20, k=4 - подходит

100 = 25 * 4 - n=25, k=3 - подходит

100 = 50 * 2 - n=50, k=1 - подходит

100 = 100 * 1 - n=100, k=0 - исходный 100-угольник