На плоскости дан отрезок ab и на нём произвольная точка m. на отрезках am и mb как на сторонах построены квадраты acd и mbef, лежащие по одну сторону от ab, и n - точка пересечения прямых af и bc. докажите, что при любом положении точки m на отрезке ab каждая прямая mn проходит через некоторую точку s, общую для всех таких прямых.

Пусть прямые AF и MN пересекают прямую BE в точках P и S соответственно, а BC пересекает MF в точке O. Докажем, что S - искомая. Из подобия треугольников BS/MO=BN/NO=PB/OF, т.е. BS/PB=MO/OF.
Обозначим AB=a, MB=MF=x, тогда AM=AC=a-x,
MO=MB·tg∠ABC=x(a-x)/a,
OF= MF-OM=x-x(a-x)/a=x²/a,
PB=AB·tg∠MAF=ax/(a-x).
Таким образом, BS=PB·MO/OF=(ax/(a-x))·(x(a-x)/a)·(a/x²)=a. Итак, видим, что длина BS не зависит от положения точки M на отрезке AB, т.е. точка S - искомая.

Я это понимаю так: На отрезках АМ и МВ, как на сторонах, построены квадраты АМСД и МВЕF... Далее то тексту.

В прямоугольных треугольниках АМF и СМВ катеты FМ=МВ и АМ=СМ, значит тр-ки равны. ∠МСВ=∠FАМ.
В тр-ке СМВ ∠МСВ+∠СВМ=90°, значит ∠NАВ+∠NВА=90°, значит тр-ник АNВ - прямоугольный.
Треугольники АNВ и МСВ подобны по трём углам, значит NВ/МВ=АN/СМ, но СМ=АМ ⇒ NВ/МВ=АN/АМ. В тр-ке АNВ это тождество соответствует утверждению теоремы биссектрис, значит NМ - биссектриса тр-ка АNВ.
Во вписанном в окружность прямоугольном треугольнике АNВ АВ - диаметр, биссектриса АМ пересекает окружность в точке S, причём ∩AS=∩BS, так как на них опираются равные вписанные углы ANS и BNS.
Таким образом, точка S - середина дуги АВ. Это будет работать всегда, при любом положении точки М на отрезке АВ. Т.к. АВ - всегда диаметр одинаковой окружности, все прямые MN проходят через точку S.
Доказано.