На диагонали АС параллелограмма ABCD очки Е и Р , причем AE:EP:PC=1:2:1. Прямые DE и DP пересекают стороны АВ и ВС в точках К и М соответственно. Докажите что КМ параллельно АС.

Для доказательства того, что КМ параллельно АС, нам потребуется использовать рассуждения о соотношениях сторон параллелограмма и свойствах параллельных прямых.

Для начала, обратимся к условию задачи. Мы знаем, что диагональ АС параллелограмма ABCD пересекается точками Е и Р так, что AE:EP:PC=1:2:1. Из этого следует, что длина отрезка AE составляет 1 часть от длины отрезка EP, а длина отрезка EP составляет 2 части от длины отрезка PC.

Теперь обратимся к треугольникам ДЕК и ДРМ. В этих треугольниках мы видим параллельные прямые DE и DP, так как они обе пересекаются со сторонами параллелограмма. Также мы знаем, что ЕР:РС=1:2:1, поэтому мы можем утверждать, что соотношение длин DE и DP также равно 1:2:1.

Теперь давайте рассмотрим отношения сторон треугольников ДЕК и ДРМ. У нас есть следующие отношения сторон:

ДЕ:ЕК=1:2 (так как DE и DP имеют одинаковые отношения с EP).
ДП:РМ=1:2 (так как DP и DE имеют одинаковые отношения с EP).

Из этих отношений следует, что длина отрезка ЕК составляет 1 часть от длины отрезка ДЕ, а длина отрезка РМ составляет 2 части от длины отрезка ДП.

Теперь обратимся к треугольникам КМА и АСЕ. В этих треугольниках мы можем заметить следующие пары параллельных сторон:

КМ||АС (так как мы доказали, что длина отрезка ЕК составляет 1 часть от длины отрезка ДЕ, а длина отрезка РМ составляет 2 части от длины отрезка ДП).
АЕ||КМ (так как AE и EP имеют одинаковые отношения с PC).

Из этих параллельных прямых следует, что треугольник КМА подобен треугольнику ЕСА по теореме о соотношении сторон при параллельных прямых. Поэтому мы можем заключить, что КМ параллельно АС.

Таким образом, мы доказали, что КМ параллельно АС с использованием соотношений сторон параллелограмма и свойств параллельных прямых.