Меньшая диагональ ромба 16√3 см, а острый угол равен 60 градусов. Найдите радиус вписанной окружности и площадь ромба.

Формула радиуса вписанной окружности в ромб: r = Dd/4а, где D, d –   диагонали ромба, а – его сторона.

По условию меньшая диагональ – 16√3 см, тогда половина данной диагонали – 8√3.

Так как острый угол равен 60°, то диагональ делит его на два угла по 30°. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы, тогда гипотенуза, она же сторона ромба, равна 16√3.

Треугольник, образованный двумя сторонами ромба и меньшей диагональю – равносторонний. Найдем высоту, она же половина большей диагонали, по формуле:

h = а√3/2 = 16√3·√3 / 2 = 8·3 = 24 см

Тогда большая диагональ D = 24·2 = 48 см

r = Dd/4а = 48·16√3 / 4·16√3 = 12 см

Площадь ромба равна половине произведения длин его диагоналей:

S = 1/2 d₁d₂ = 1/2 Dd = 1/2·48·16√3 = 384√3 см²

ответ: r = 12 см; S = 384√3 см²