КОНТРОЛЬНАЯ
РАБОТА
2
Треугольники
1
1. На рис. 165 ST = ML = 5 см, RT = MN = 8 см, ZT =
= ZM = 20°. Докажите, что ARST = ANLM.
200
/ 205
Рис. 165
2. На рис. 166 GB = 2D = 91°, BD = 12 см, во – 6 см,
DC = 11 см. Найдите AB.
В
91°
6
Рис. 166
3. Найдите стороны равнобедренного треугольника, если
его периметр равен 97 см, а основание на 4 см больше
боковой стороны.
4. Периметр треугольника ABC равен 51 см, AB = 18 см,
ВС: AC = 5:6. Докажите, что ZB = 2C.
5. Точка D лежит внутри равностороннего треугольника
АВС, причем AD = BD. Докажите, что луч CD является
биссектрисой угла АСв.​

1. Для доказательства того, что ARST = ANLM, нам понадобится информация о треугольнике STN и треугольнике MNL. Обратимся к ним по отдельности.
а) По условию, ST = ML = 5 см и RT = MN = 8 см. Из этого следует, что треугольники STN и MNL равны по двум стронам, следовательно, они равны по стороне ST = ML и по стороне RT = MN.
б) Также, по условию, ZT = ZM = 20°. Так как вершина этих углов находится на одной и той же стороне треугольника, мы можем сделать вывод, что треугольники STN и MNL равны и по углу ZT = ZM.
в) Теперь сравним треугольники ARS и ANL. Так как RT = MN и угол ZT = ZM, мы можем сделать вывод, что треугольники ARS и ANL равны по двум сторонам и одному углу. Из этого следует, что они равны и по третьей стороне и обеспечивают равенство ARST = ANLM.

2. Для нахождения длины AB в треугольнике ABGD, нам понадобится теорема синусов. В первую очередь, рассмотрим треугольник GBD.
а) Из задания мы знаем, что GB = 2D и угол GBD = 91°. Также нам дано значение BD = 12 см.
б) Мы можем воспользоваться теоремой синусов, чтобы найти значение DB:
sin(91°) = BD / BG
BD = GB * sin(91°)
BD = 2D * 1
BD = 2D
в) Мы также знаем, что DC = 11 см, поэтому можем найти величину AB:
AB = BD + DC
AB = 2D + 11 см

3. Для нахождения сторон равнобедренного треугольника, мы можем использовать информацию о его периметре и отношении между основанием и боковой стороной.
а) Пусть боковая сторона равна x см. Тогда основание будет равно (x + 4) см.
б) Исходя из условия, периметр равнобедренного треугольника равен 97 см:
x + x + (x + 4) = 97
в) Решим уравнение:
3x + 4 = 97
3x = 93
x = 31
г) Значит, основание равнобедренного треугольника равно 31 + 4 = 35 см, а боковая сторона равна 31 см.

4. Чтобы доказать, что ZB = 2C в треугольнике ABC, нам понадобятся некоторые сведения о треугольнике.
а) Периметр треугольника ABC равен 51 см, и AB = 18 см.
б) Также мы знаем, что ВС: AC = 5:6. Значит, мы можем записать BC = (5/11) * AC и AC = (6/11) * BC.
в) Заметим, что периметр треугольника можно представить в виде суммы сторон:
51 см = AB + BC + AC
51 см = 18 см + BC + AC
г) Мы можем выразить BC и AC через AB, используя отношение между сторонами:
BC = (5/11) * AC
AC = (6/11) * BC
д) Подставим выражения для BC и AC в уравнение периметра:
51 см = 18 см + BC + (6/11) * BC
51 см - 18 см = (17/11) * BC
BC = (33 * 11) / 17
BC = 21 см
е) Так как AB = 18 см, можно найти ZB:
ZB = 51 см - 21 см - 18 см
ZB = 12 см
ж) А также можно найти ZC:
ZC = (6/11) * BC
ZC = (6/11) * 21 см
ZC = 6 см
з) Таким образом, мы доказали, что ZB = 2C.

5. Для доказательства того, что луч CD является биссектрисой угла АСВ, нам пригодятся свойства равностороннего треугольника и свойства биссектрисы.
а) По условию, точка D лежит внутри равностороннего треугольника АВС, где AD = BD.
б) Заметим, что угол А и угол В - это углы при основании равностороннего треугольника, а угол С - это угол при вершине.
в) Также, мы знаем, что AD = BD, что означает, что длины сторон треугольника АСД и треугольника ВСD равны.
г) Из равенства AD = BD следует, что углы АДС и БДС равны между собой.
д) Из пунктов "в" и "г" мы можем сделать вывод, что CD является биссектрисой угла АСВ.