Контрольная работа: « призма»
вариант 1
1).диагональ правильной четырехугольной призмы наклонена к плоскости
основания под углом 60°. найдите полную поверхность призмы, если
диагональ основания равна 4 n2 см.
2).в основании прямой призмы лежит прямоугольник со сторонами 6 см и 8
см. высота призмы равна 5 см. найдите полную поверхность призмы.
3) найдите сторону основания и высоту правильной четырехугольной
призмы, если площадь ее полной поверхности равна 40 см“, а боковая
поверхность 32 см“.
4) в прямом параллелепипеде с высотой 14 м стороны основания равны 3 м
и 4 м, диагональ ac равна 6 м. найдите площадь диагонального сечения
параллелепипеда, проходящего через вершины ви д.
5)найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда по трем его
измерениям: 7см, 9см и 11см.
6) в прямом параллелепипеде стороны основания величиной 5см и 9см
образуют угол 45°, боковое ребро равно 8см. найдите полную поверхность
призмы.
7) в правильной четырехугольной призме площадь основания равна 144см“, а
высота 10см. найдите площадь диагонального сечения.​

1) Для нахождения полной поверхности призмы, сначала нужно найти боковую поверхность призмы, а затем прибавить к ней удвоенную площадь основания.
Дано: диагональ основания = 4 n^2 см
Найдем сторону основания:
В прямоугольном треугольнике, где гипотенуза равна диагонали основания, а один из катетов – сторона основания, используется теорема Пифагора:
(сторона основания)^2 + (сторона основания/2)^2 = (диагональ основания)^2
(сторона основания)^2 + (сторона основания)^2/4 = (4 n^2)^2
(5/4)(сторона основания)^2 = 16 n^4
(сторона основания)^2 = (16 n^4) * 4/5
сторона основания = √(64 n^4 / 5) = 8 n^2 / √5 ≈ (2.83 n^2) см
Здесь использовано упрощение √(16) = 4 и √(5) ≈ 2.236 (знаменатель взят в исходной форме для точности)
Теперь находим боковую поверхность:
Боковая поверхность = высота призмы * (периметр основания) = высота призмы * (4 * сторона основания)
Боковая поверхность = 5см * (4 * 2.83 n^2) см = 5см * 11.32 n^2 = 56.6 n^2 см^2
Теперь найдем полную поверхность:
Полная поверхность = боковая поверхность + 2 * площадь основания
Полная поверхность = 56.6 n^2 см^2 + 2 * (сторона основания)^2
Полная поверхность = 56.6 n^2 см^2 + 2 * (2.83 n^2)^2
Полная поверхность = 56.6 n^2 см^2 + 2 * 7.99849 n^4 см^2
Полная поверхность ≈ 56.6 n^2 см^2 + 2 * 8 n^4 см^2 ≈ 72.6 n^2 см^2

2) Дано: сторона прямоугольника основания = 6 см, сторона прямоугольника основания = 8 см, высота призмы = 5 см
Сначала найдем площадь боковой поверхности:
Площадь боковой поверхности = периметр прямоугольника основания * высота призмы
Площадь боковой поверхности = (6 + 8) см * 5 см = 14 см * 5 см = 70 см^2
Теперь найдем площадь основания:
Площадь основания = сторона прямоугольника основания * сторона прямоугольника основания
Площадь основания = 6 см * 8 см = 48 см^2
Итак, полная поверхность призмы:
Полная поверхность = площадь боковой поверхности + 2 * площадь основания
Полная поверхность = 70 см^2 + 2 * 48 см^2
Полная поверхность = 70 см^2 + 96 см^2
Полная поверхность = 166 см^2

3) Дано: площадь полной поверхности = 40 см^2, боковая поверхность = 32 см^2
Сначала найдем площадь основания:
Площадь основания = (площадь полной поверхности - боковая поверхность) / 2
Площадь основания = (40 см^2 - 32 см^2) / 2
Площадь основания = 8 см^2 / 2
Площадь основания = 4 см^2
Теперь найдем периметр основания:
Периметр основания = √(площадь основания) * 4
Периметр основания = √(4 см^2) * 4
Периметр основания = 2см * 4
Периметр основания = 8 см
Восстановим боковую поверхность:
Боковая поверхность = площадь основания * высота призмы
32 см^2 = 4 см^2 * высота призмы
высота призмы = 32 см^2 / 4 см^2
высота призмы = 8 см
Таким образом, сторона основания равна 8 см и высота призмы равна 8 см.

4) Дано: высота параллелепипеда = 14 м, сторона основания = 3 м, сторона основания = 4 м, диагональ ac = 6 м
Площадь диагонального сечения параллелепипеда через вершины abcd:
Сначала построим прямоугольный треугольник abc, где ac - гипотенуза, а ab и bc - катеты.
Применим теорему Пифагора:
(ab)^2 + (bc)^2 = (ac)^2
(3 м)^2 + (4 м)^2 = (6 м)^2
9 м^2 + 16 м^2 = 36 м^2
25 м^2 = 36 м^2
(ab)^2 = 25 м^2
ab = 5 м (сторона прямоугольника основания)
Теперь найдем площадь диагонального сечения:
Площадь диагонального сечения = ab * высота параллелепипеда
Площадь диагонального сечения = 5 м * 14 м
Площадь диагонального сечения = 70 м^2

5) Дано: измерения параллелепипеда - 7 см, 9 см, 11 см
Для нахождения диагонали прямоугольного параллелепипеда, используется теорема Пифагора:
(diagonal)^2 = (side_1)^2 + (side_2)^2 + (side_3)^2
(diagonal)^2 = (7 см)^2 + (9 см)^2 + (11 см)^2
(diagonal)^2 = 49 см^2 + 81 см^2 + 121 см^2
(diagonal)^2 = 251 см^2
diagonal = √251 см ≈ 15.85 см

6) Дано: сторона основания = 5 см, сторона основания = 9 см, боковое ребро = 8 см
Сначала найдем сторону основания в треугольнике abc:
В прямоугольном треугольнике abc, где ab и bc - катеты, ac - гипотенуза, применим тригонометрические соотношения:
tg(45°) = ab / bc
1 = ab / bc
bc = ab
Здесь используется свойство прямоугольного треугольника, где катеты при 45° угле равны.
ab = 5 см
bc = 5 см
Площадь боковой поверхности:
Площадь боковой поверхности = (периметр основания) * высота призмы
Периметр основания = 2 * (сторона основания + боковое ребро)
Периметр основания = 2 * (5 см + 8 см)
Периметр основания = 26 см
Площадь боковой поверхности = 26 см * 8 см = 208 см^2
Площадь основания:
Площадь основания = сторона основания * сторона основания
Площадь основания = 5 см * 9 см = 45 см^2
Полная поверхность призмы:
Полная поверхность = площадь боковой поверхности + 2 * площадь основания
Полная поверхность = 208 см^2 + 2 * 45 см^2
Полная поверхность = 208 см^2 + 90 см^2
Полная поверхность = 298 см^2

7) Дано: площадь основания = 144 см^2, высота призмы = 10 см
Площадь диагонального сечения:
Площадь диагонального сечения = (площадь основания) * (доля высоты призмы, проходящая через сечение)
Доля высоты призмы, проходящая через сечение = сos(угол между плоскостью этого сечения и плоскостью основания) = 1 / сos(угол между плоскостью этого сечения и плоскостью основания)
Так как у нас правильная четырехугольная призма, угол между плоскостью этого сечения и плоскостью основания равен 90 градусов.
Доля высоты призмы, проходящая через сечение = 1 / сos(90°) = 1 / 0 = неопределено
Возможно, здесь нет четкого ответа или недостаточно данных для его определения.