)катеты прямоугольного треугольника равны 7 см и 24 см. с вершины прямого угла опущен перпендикуляр на плоскость β, проходящей через гипотенузу и образует угол 30 градусов с плоскостью треугольника. найдите длину перпендикуляра.

ΔАВС , ∠С=90° , С=24 см , ВС=7 см .

Найдём высоту СК, опущенную из прямого угла на гипотенузу А.

Она равна h=ab/c , где а и b - катеты, с - гипотенуза.

с=АВ=√(АС²+ВС²)=√(24²+7²)=25

h=СК=(АС·ВС)/АВ=(24·7)/25=6,72

Проведём СН⊥пл.β , соединим точку К с точкой Н. Получим ΔСКН.

∠СНК=90°, т.к. СН⊥ пл.β, а значит любой прямой, лежащей в этой пллоскости, в том числе и прямой КН.

∠СКН=30°, т.к. угол между плоскостями β и АВС равен углу между перпендикулярами в этих плоскостях, проведёнными из точки К, лежащей на линии пересечения АВ этих плоскостей: СК⊥АВ как высота ΔАВС, проведённая из т.С, КН⊥АВ по теореме о трёх перпендикулярах (СК - наклонная, СН⊥КН, СН - проекция наклонной).

Катет СН лежит против угла в 30°, поэтому он равен половине гипотенузы: СН=6,72:2=3,36 .

ответ: длина перпендикуляра СН=3,36 см.