Как доказать теорему что медиана проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы

Самое простое доказательство этой теоремы через радиус описанной окружности.

Около прямоугольного треугольника АВС (угол С = 90 градусов) опишем окружность (вершины треугольника АВС лежат на окружности, все углы треугольника - вписанные углы). Центр О этой окружности лежит в середине гипотенузы АВ, так как вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается, а прямой угол опирается на половину окружности, концы которой соединяет диаметр АВ.

Отрезок СО яляется медианой и радиусом описанной около треугольника АВС окружности.

Итак, АО = ВО = СО, как радиусы. Теорема доказана.

Медиана,проведенная гипотенузе в прям.угольном треугольнике равна половине гипотенузы.
Док-во: 
проведем прямую СД, СД||АВ ,продолжим АО.
Рассмотрим треугольники : ВОА и СОД ,они равны(по второму признаку)
Рассмотрим треугольник : САВ и САД ,они равны по двум катетам (АВ=СД.Ас-общий)=>угол ОАС = углу ОСА=>в треугольнике АОС: АО=ОС=>медиана равна половине гипотенузе,чтд.