Из точки, стоящей от плоскости на 10 см, проведены две наклонные, составляющие с плоскостью угол 30 градусов и 45 градусов, угол между их проекциями на эту плоскость равен 30 градусам. найти расстояние между
основаниями наклонных.

Проекции наклонных легко вычисляются. У той наклонной, которая составляет угол в 30 градусов с плоскостью, длина проекции 10*корень(3), у второй - 10.

Даны две стороны треугольника с этими длинами, угол между ними 30 градусов, надо найти третью сторону (пусть это x). По теореме косинусов 

x^2 = 10^2 + (10*корень(3))^2 - 2*10*10*корень(3)*(корень(3)/2) = 100+300-300 = 100;

x = 10;

Пусть МА=10см  - расстояние от данной точки до плоскости. МВ наклонная, АВ - проекция, угол МВА = 30⁰, МС - наклонная, АС - проекция, угол МСА=45⁰.

Угол ВАС=30⁰. Необходимо найти ВС.

Поскольку треугольник АМС - равнобедренный, прямоугольный, то МА=АС=10см

В треугольнике АВМ(прямоугольный треугольник) найдем АВ:

АВ=АМ/tg30⁰=10/(√3/3)=10√3

Из треугольника Авс по т. косинусов найдем ВС:

ВС²=АВ²+АС²-2·АВ·АС·соs30⁰=(10√3)²+10²-2·10√3·10·√3/2=300+100-300=100

ВС=√100=10см