III уровень сложности Дано: ABCD - параллелограмм, AF: FC = 4:1, BM: MC= 1:3, N - середина CD, a = AB, b = AD . Выразить: AF, AM, AN, MF, NF, MN через a и b.

Для решения этой задачи, мы воспользуемся свойствами параллелограмма, а также соотношениями между отрезками, данных в условии.

Дано, что AF:FC = 4:1. Мы знаем, что отрезки, параллельные, исходящие из одной точки на сторону параллелограмма, делят эту сторону пропорционально. Исходя из этого свойства, мы можем установить, что

AF = (4/5) * a, так как AF делит сторону AB в отношении 4:5.

Теперь мы перейдем к рассмотрению отрезка BM:MC = 1:3. Аналогично предыдущему шагу, мы можем установить, что

AM = (1/4) * b, так как AM делит сторону AD в отношении 1:4.

Используя свойство середины, мы можем установить, что N является серединой отрезка CD. Таким образом,

CN = ND = (1/2) * b.

Исходя из этого, мы можем найти AN:

AN = AD - ND = b - (1/2) * b = (1/2) * b.

Теперь перейдем к рассмотрению отрезка MF. Заметим, что MF = AF - AM. Подставляя значения, которые мы уже нашли, получим:

MF = (4/5) * a - (1/4) * b.

Наконец, посмотрим на отрезок NF. Рассмотрим треугольник CND, в котором известны два равных отрезка CN и ND.

Используя симметрию треугольника, мы можем установить, что NF также является серединой отрезка MD. Таким образом,

NF = (1/2) * MC = (1/2) * (3/4) * b = (3/8) * b.

Наконец, рассмотрим отрезок MN. Мы можем увидеть, что MN = AM - AN. Подставляя значения, которые мы уже нашли, получим:

MN = (1/4) * b - (1/2) * b = -(1/4) * b.

Таким образом, мы нашли выражения для всех отрезков AF, AM, AN, MF, NF и MN через заданные в условии величины a и b:

AF = (4/5) * a
AM = (1/4) * b
AN = (1/2) * b
MF = (4/5) * a - (1/4) * b
NF = (3/8) * b
MN = -(1/4) * b