Геометрия 9 класс Основания трапеции, вписанной в окружность, равны 7 и 8, а её боковая сторона равна 4. Найдите длину хорды окружности, на которой лежит средняя линия этой трапеции.​

Для решения данной задачи нам понадобятся знания о свойствах окружностей и трапеций.

В первую очередь, вспомним свойства трапеции, вписанной в окружность.

1. Для такой трапеции основания различных сторон (то есть основания трапеции) равны.
2. Сумма длин противоположных сторон трапеции равна диаметру окружности.

С учетом этих свойств и данных из условия задачи, мы можем сделать следующие выкладки:

Пусть AB и CD - основания трапеции, BC - боковая сторона, M - точка пересечения диагоналей.
Так как данная трапеция вписана в окружность, то ее диагонали перпендикулярны (что является свойством таких трапеций).

Мы знаем, что AB = 7 и CD = 8, а BC = 4.
По свойству трапеции основания различных сторон равны, получаем, что AB = CD.

Теперь воспользуемся свойством трапеции, что сумма длин противоположных сторон равна диаметру окружности.

AB + CD = диаметр окружности

Так как AB = CD, то 2 * AB = диаметр окружности

2 * 7 = диаметр окружности

14 = диаметр окружности

Зная диаметр окружности, мы можем найти ее радиус, разделив диаметр на 2:

14 / 2 = 7 - радиус окружности

На этом этапе мы нашли, что радиус окружности равен 7.

Теперь рассмотрим среднюю линию трапеции. Средняя линия трапеции - это отрезок, который соединяет средние точки ее боковых сторон. Пусть P - середина BC, то есть середина боковой стороны.

Известно, что BC = 4. Значит, PM = 4 / 2 = 2.

Мы уже знаем радиус окружности, который равен 7. Теперь нам нужно найти длину хорды окружности, на которой лежит средняя линия трапеции (то есть отрезок, соединяющий точки пересечения с окружностью).

Существует теорема о перпендикулярных хордах: если две хорды перпендикулярны друг другу, то их длины связаны соотношением L1 * L2 = r^2, где L1 и L2 - длины перпендикулярных хорд, а r - радиус окружности.

Подставим известные значения в эту формулу:

L1 * L2 = 7^2

L1 * L2 = 49

Так как PM - часть L1, а L2 - часть, лежащая между точками пересечения с окружностью, то можем записать следующее:

2 * L2 = 49

L2 = 49 / 2

L2 = 24.5

Таким образом, мы нашли длину хорды окружности, на которой лежит средняя линия трапеции. Получилось, что ее длина равна 24.5.