Геометрия 7 класс.

Решение задач:

1. Отрезки KM и PL –диаметры некоторой окружности. Докажите, что прямые KP и ML параллельны.

2. Точки А и С лежат по разные стороны от прямой BD . Известно, что АВ параллельна DC и AD параллельна ВС. Докажите, что угол BAD равен углу DCB, АВ=DC и AD= BC.

3. На биссектрисе CD равнобедренного треугольника АВС взята точка М. Через эту точку проведены прямые, параллельные сторонам АС и ВС и пересекающие основание АВ в точках Н и К. Докажите, что АН=КВ.

4. На сторонах MP и PN треугольника MPN взяты точки А и В соответственно. Угол PMN равен углу РАВ и равен 600, угол MNP равен 500. Найдите, чему равен угол АВN.

Добрый день! Рад, что вы обратились ко мне за помощью. Давайте решим каждую задачу по порядку.

1. Отрезки KM и PL - диаметры некоторой окружности. Нам нужно доказать, что прямые KP и ML параллельны.

Для начала, давайте представим себе данную ситуацию на рисунке. Нарисуем окружность с центром O и отметим точки K, M, P и L на ней.

Теперь давайте посмотрим на треугольник KMP. Так как отрезки KM и PL являются диаметрами окружности, то углы KMP и KLP являются прямыми углами (180 градусов).

Далее, мы знаем, что в треугольнике сумма углов равна 180 градусов. Таким образом, сумма углов KMP и KLP должна быть равна 180 градусов.

Так как угол KMP равен прямому углу, то угол KLP также должен быть прямым углом.

Ранее мы изучали геометрические свойства параллельных прямых, и одним из них было то, что у параллельных прямых соответствующие углы равны. Таким образом, угол KLP равен углу KMP, который является прямым углом.

Таким образом, мы доказали, что прямые KP и ML параллельны.

2. Точки А и С лежат по разные стороны от прямой BD. Известно, что АВ параллельна DC и AD параллельна ВС. Нам нужно доказать, что угол BAD равен углу DCB, АВ=DC и AD= BC.

Для решения этой задачи воспользуемся параллельными прямыми. Мы знаем, что АВ параллельна DC и AD параллельна ВС.

Так как AB || DC и AD || BC, то мы можем применить теорему о параллельных прямых: при пересечении параллельных прямых нисходящие и поднятые углы равны.

Рассмотрим треугольники ABD и DBC. Угол BAD и угол DCB являются нисходящими углами и, согласно теореме, они равны друг другу.

Чтобы доказать, что AB=DC и AD=BC, нам нужно использовать другие свойства параллельных прямых. К примеру, если в треугольнике углы двух сторон равны соответственно углам двух других сторон, то эти стороны равны.

Вернемся к треугольникам ABD и DBC. Мы уже установили равенство углов BAD и DCB.

Также, угол BDA и угол CBD являются вертикальными углами (они образованы при пересечении прямых AB и CD прямой BD) и, согласно другой теореме о параллельных прямых, они тоже равны друг другу.

Таким образом, углы BAD и BDA равны углам DCB и CBD соответственно.

Теперь вспомним свойство треугольника, которое гласит, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусов. Таким образом, угол ADC равен 180 - угол ADB - угол BDA. В то же время, угол CDB равен 180 - угол CBD - угол DCB.

Теперь давайте просуммируем полученные равенства: угол ADC равен 180 - угол ADB - угол BDA, а угол CDB равен 180 - угол CBD - угол DCB.

Учитывая равенство углов BDA и CBD, мы получим: угол ADC равен 180 - угол ADB - угол BDA, а угол CDB равен 180 - угол BDA - угол DCB.

Так как суммы углов равны, мы можем сказать, что угол ADC равен углу CDB.

Итак, мы доказали, что угол BAD равен углу DCB, АВ=DC и AD= BC.

3. На биссектрисе CD равнобедренного треугольника АВС взята точка М. Через эту точку проведены прямые, параллельные сторонам АС и ВС и пересекающие основание АВ в точках Н и К. Нам нужно доказать, что АН=КВ.

Для решения этой задачи мы воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника и параллельных прямых.

Мы знаем, что CD - биссектриса угла ABC, а треугольник АВС является равнобедренным.

Следовательно, угол CAB равен углу ACB.

Также, у нас есть две параллельные прямые: МН || АС и МК || ВС.

Вспомним теперь свойство параллельных прямых о пересекающихся углах нисходящей прямой и нисходящих прямых, проведенных через точки на пересечении.

Согласно этому свойству, углы HAM и CBA равны, так как это соответствующие углы.

Аналогично, углы MBK и ABC равны друг другу.

Так как треугольник АВС является равнобедренным, то у него AB = AC.

Теперь давайте рассмотрим треугольники АХМ и CХМ (где Х - точка пересечения МН и МК с основанием АВ).

У нас есть AB = AC и угол HAM = углу CBA.

Следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу.

Таким образом, AB = AC и угол AXМ = углу CXM.

Получается, что треугольники АХМ и CXМ равны друг другу и мы можем использовать свойство равных треугольников, где стороны, образующие равные углы, равны.

Таким образом, у нас есть АH = CX и MB = MK.

Теперь давайте рассмотрим треугольники АНМ и ВМК.

Мы знаем, что АХ = CX (так как треугольники АХМ и CXМ равны), MB = MK и AM = VM (так как это отрезки МК и МН, проведенные через середину основания АВ).

Используя свойство равных треугольников, мы можем сказать, что АН = КВ.

4. На сторонах MP и PN треугольника MPN взяты точки А и В соответственно. Угол PMN равен углу РАV и равен 60 градусов, а угол MNP равен 50 градусов. Нам нужно найти, чему равен угол АВN.

Давайте начнем, нарисовав треугольник MPN и обозначим точки А и В на сторонах MP и PN соответственно.

Затем построим прямые, параллельные AM и VN, и проведем их через точку N. Обозначим пересечение AM и VN как точку С.

Мы знаем, что угол PMN = угол РАV и равен 60 градусов.

Также, нам дано, что угол MNP = 50 градусов.

Теперь давайте рассмотрим треугольник BMC, он равнобедренный.

Ранее мы уже рассмотрели свойство равнобедренного треугольника, которое говорит, что биссектриса угла основания равнобедренного треугольника делит противоположное основание пополам.

Следовательно, МС - это биссектриса угла BMN и она делит отрезок BN пополам.

Это означает, что BN = NC.

Теперь вспомним свойство треугольника, которое гласит, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусов.

Таким образом, угол NCB равен 180 - угол CNB - угол CBN. Угол CNB равен 50 градусов (так как угол MNP = 50 градусов) и угол CBN равен 60 градусов (так как угол PMN = 60 градусов).

Таким образом, угол NCB равен 180 - 50 - 60 = 70 градусов.

Теперь, чтобы найти угол АВN, возьмем во внимание свойство параллельных прямых: при пересечении параллельных прямых нисходящие и поднятые углы равны.

Основываясь на этом свойстве, мы можем сказать, что угол NCB равен углу AVB.

Таким образом, угол АВN = 70 градусов.