Геометрия 10 класс Карточка 1
1. Докажите теоремы, устанавливающие связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.
Карточка 2
1. Сформулируйте определение перпендикулярности прямой и плоскости. Докажите теорему, выражающую признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Карточка 3
1. Докажите теорему о трех перпендикулярах.
Карточка 4
1. Сформулируйте определение угла между прямой и плоскостью. Расскажите о свойстве угла между прямой и плоскостью.
Карточка 5
1. Сформулируйте определение перпендикулярности двух плоскостей. Докажите теорему, выражающую признак перпендикулярности двух плоскостей.
Карточка 6
1. Докажите теорему о диагонали прямоугольного параллелепипеда.

1)Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.

2)Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве С понятием перпендикулярности прямой и плоскости мы встречаемся ежедневно. Например, мачты освещения устанавливаются перпендикулярно поверхности земли. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой в этой плоскости.

3)Прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость.

4) Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией в данной плоскости

5) две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым. Признак перпендикулярности плоскостей. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

6)Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений:

d² = a² + b² + c²

Доказательство:

Все грани прямоугольного параллелепипеда - прямоугольники.

ΔABD: ∠BAD = 90°, по теореме Пифагора

          d₁² = a² + b²

ΔB₁BD: ∠B₁BD = 90°, по теореме Пифагора

           d² = d₁² + c² = a² + b² + c²

           d²  = a² + b² + c²

Доказанная теорема - пространственная теорема Пифагора.

Объяснение:

Пикча к последнему

Карточка 1:
Теоремы, устанавливающие связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости:

Теорема 1: Если две прямые в одной плоскости параллельны, то их нормальные векторы также параллельны.

Доказательство:

Пусть у нас есть две прямые l₁ и l₂, лежащие в плоскости π. Зададим эти прямые векторным уравнением:

l₁ : r = r₁ + t₁v₁
l₂ : r = r₂ + t₂v₂

где r это радиус-вектор произвольной точки на прямой, t₁ и t₂ - параметры, r₁ и r₂ - радиус-векторы точек на прямых, v₁ и v₂ - направляющие векторы прямых.

Поскольку l₁ и l₂ параллельны, значит, их направляющие векторы должны быть коллинеарны.

То есть, v₁ = k*v₂, где k - произвольная константа.

Также, нормальный вектор к плоскости π будет перпендикулярен прямым l₁ и l₂. Пусть n будет нормальным вектором к плоскости π.

n·v₁ = 0 (скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю).

Тогда n·k*v₂ = 0

k*n·v₂ = 0 (так как k и v₂ являются константными величинами)

Таким образом, связь между параллельностью прямых и перпендикулярностью их нормальных векторов доказана.

Карточка 2:
Определение перпендикулярности прямой и плоскости:

Прямая l называется перпендикулярной к плоскости π, если она пересекает ее под прямым углом.

Теорема: Если прямая пересекает плоскость под прямым углом, то прямая и плоскость перпендикулярны.

Доказательство:

Пусть у нас есть плоскость π и прямая l, пересекающая плоскость под прямым углом.

Возьмем две точки A и B на прямой l, и пусть M - произвольная точка на плоскости π.

Две прямые AM и BM будут лежать в плоскости π, поскольку они содержатся в этой плоскости.

Также, AM и BM будут перпендикулярны, поскольку они образуют прямой угол.

Докажем, что AM и BM перпендикулярны плоскости π.

Пусть n будет нормальным вектором плоскости π.

Если AM и BM перпендикулярны между собой, то и их направляющие векторы будут перпендикулярны каким-то векторам, лежащим в плоскости π.

То есть, (AM - BM)·n = 0.

AM·n - BM·n = 0

Таким образом, доказано, что прямая и плоскость перпендикулярны.

Карточка 3:
Теорема о трех перпендикулярах:

Теорема: Если две прямые перпендикулярны к одной и той же плоскости, то их точка пересечения будет перпендикулярна к этой плоскости.

Доказательство:

Пусть у нас есть две прямые l₁ и l₂, перпендикулярные к плоскости π, и пусть точка O - их точка пересечения.

Рассмотрим произвольную точку A на прямой l₁ и произвольную точку B на прямой l₂.

Также, рассмотрим произвольную точку M на плоскости π.

Из определения перпендикулярности прямой и плоскости следует, что AM и BM перпендикулярны к плоскости π.

Также, OA и OB будут перпендикулярны к плоскости π, поскольку они лежат на прямых l₁ и l₂, соответственно.

Пусть n будет нормальным вектором плоскости π.

Тогда (AM - OA)·n = 0 (поскольку AM и OA перпендикулярны к плоскости π)

Также, (BM - OB)·n = 0 (поскольку BM и OB перпендикулярны к плоскости π)

Тогда (AM - OA)·n = (BM - OB)·n

AM·n - OA·n = BM·n - OB·n

Поскольку OA·n = OB·n (так как и OA, и OB перпендикулярны к плоскости π, и, следовательно, они коллинеарны нормальному вектору плоскости),

то AM·n = BM·n

Значит, AM = BM, что означает, что точка O перпендикулярна к плоскости π.

Карточка 4:
Определение угла между прямой и плоскостью:

Углом между прямой l и плоскостью π называется наименьший из углов, образованных лучами, выходящими из общей точки и лежащими на прямой l, и лучом, лежащим в плоскости π, и проходящим через эту точку.

Свойство угла между прямой и плоскостью:

Если прямая перпендикулярна к плоскости, то угол между ними равен 90 градусам.

Доказательство:

Пусть прямая l перпендикулярна к плоскости π, и пусть точка A будет точкой пересечения прямой l и плоскости π.

Возьмем произвольную точку M на плоскости π и соединим точки A и M лучом AM.

Также, возьмем произвольную точку B на прямой l и соединим точки A и B лучом AB.

Из определения перпендикулярности прямой и плоскости следует, что луч AM перпендикулярен к плоскости π.

Также, из определения угла между прямой и плоскостью следует, что луч AB будет образовывать наименьший угол с лучом AM, так как это угол будет прямым.

Следовательно, угол между прямой l и плоскостью π равен 90 градусам.

Карточка 5:
Определение перпендикулярности двух плоскостей:

Две плоскости π₁ и π₂ называются перпендикулярными, если прямая, перпендикулярная к одной из плоскостей, пересекает вторую плоскость под прямым углом.

Теорема: Две плоскости перпендикулярны друг другу, если их нормальные векторы являются перпендикулярными друг другу.

Доказательство:

Пусть у нас есть две плоскости π₁ и π₂ с нормальными векторами n₁ и n₂ соответственно.

Пусть l - прямая, перпендикулярная к плоскости π₁. Тогда n₁·l = 0.

Покажем, что l также перпендикулярна к плоскости π₂. Для этого возьмем произвольную точку M на π₂ и соединим точку M и точку O, лежащую на прямой l, лучом OM.

Тогда M должна лежать в плоскости π₂, а O - на плоскости π₁.

Из определения перпендикулярности прямой и плоскости следует, что OM перпендикулярен к плоскости π₂.

Значит, OM·n₂ = 0.

С другой стороны, OM·n₁ = OA·n₁ = 0 (так как l перпендикулярна к плоскости π₁)

Таким образом, OM·n₁ = OM·n₂ = 0, что означает, что луч OM перпендикулярен к плоскости π₂.

Следовательно, прямая l перпендикулярна к обеим плоскостям π₁ и π₂, доказывая, что нормальные векторы плоскостей являются перпендикулярными друг другу.

Карточка 6:
Теорема о диагонали прямоугольного параллелепипеда:

Теорема: Диагональ прямоугольного параллелепипеда является перпендикуляром к каждой из его плоскостей.

Доказательство:

Пусть у нас есть прямоугольный параллелепипед ABCDEFGH, и пусть O будет его центр.

Рассмотрим две плоскости, проходящие через ABC и BCD.

Для удобства обозначений, пусть BC=a, CD=b и AB=c.

Тогда по свойствам прямоугольного параллелепипеда, AD=a, AE=b и DE=c.

Построим диагональ AC параллелепипеда ABCDEFGH.

Рассмотрим плоскость, проходящую через ABC. Пусть n₁ будет нормальным вектором этой плоскости.

Также, рассмотрим плоскость, проходящую через BCD. Пусть n₂ будет нормальным вектором этой плоскости.

Так как точка O является центром параллелепипеда, она также лежит на диагонали AC.

То есть, вектор OC является радиус-вектором произвольной точки на диагонали AC.

Рассмотрим скалярное произведение OC и n₁:

OC·n₁ = OA·n₁ + AC·n₁ = a/2·n₁ + a·n₁ + b/2·n₁ + c·n₁ + c/2·n₁ = (a/2 + a + b/2 + c + c/2)·n₁ = (2a + b + 2c)·n₁

Аналогично, рассмотрим скалярное произведение OC и n₂:

OC·n₂ = OA·n₂ + AC·n₂ = a/2·n₂ + a·n₂ + b·n₂ + c/2·n₂ + c/2·n₂ = (a/2 + a + b + c/2 + c/2)·n₂ = (2a + b + 2c)·n₂

Таким образом, OC·n₁ = OC·n₂ = (2a + b + 2c) для произвольной точки O.

Значит, диагональ AC перпендикулярна к плоскостям, проходящим через ABC и BCD, доказывая теорему.

Надеюсь, эта информация позволит вам лучше понять тему и успешно выполнить задания по геометрии.