Е и F — середины сторон АВ и ВС треугольника АВС. Найдите EF и ∠BEF, если АС = 14 см, ∠A = 72°. 2. В равнобедренном треугольнике АВС медианы пересекаются в точке О. Найдите расстояние от точки О до вершины В данного треугольника, если АВ = АС = 13 см, ВС = 10 см. 3. Вычислите медианы треугольника со сторонами 25 см, 25 см, 14 см.

1. Для решения данной задачи воспользуемся свойствами серединных перпендикуляров.
Для начала построим треугольник АВС и отметим точки E и F - середины сторон АВ и ВС соответственно.

Так как E и F - середины сторон, то AE = EB и CF = FB.
Заметим, что треугольники АЕF и ВСF являются равными по двум сторонам, так как AE = EB и BC = CF.
Таким образом, угол ∠BFE = ∠BCE и треугольники BFE и BCE подобны по двум углам.

Сумма углов треугольника АВС равна 180°, поэтому ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
Заметим, что EF является продолжением отрезка АС, поэтому ∠BEF = ∠BAC.
Так как ∠A = 72°, то ∠BEF = 72°.

Также, так как треугольники BFE и BCE подобны, можно записать пропорцию:
BF/EC = FE/BE.

Из задания известно, что АС = 14 см.
Так как E - середина стороны АВ, то АЕ = EB, а значит AB = 2 * AE.
Также, так как F - середина стороны ВС, то CF = FB, а значит BC = 2 * CF.
Если обозначить AE (EB) за x, то AB = 2x и BC = 2 * CF = 2 * x.
Зная, что AB + BC = AC, получим 2x + 2x = 14, откуда получаем x = 7/2 = 3.5 см.

Таким образом, FE = BE - BF, где BE = AE + AB = 3.5 + 2 * 3.5 = 3.5 + 7 = 10.5 см, а BF = BC - CF = 2 * 3.5 - 3.5 = 7 - 3.5 = 3.5 см.
Подставляя значения, получаем FE = 10.5 - 3.5 = 7 см.

Итак, мы получили, что EF = 7 см и ∠BEF = 72°.

2. Для решения данной задачи воспользуемся свойством пересечения медиан в обратном порядке.

Для начала построим треугольник АВС и отметим точку О - точку пересечения медиан.

Заметим, что точка О делит медианы на отношение 2:1. При этом, расстояние от точки О до вершины В равно третьей части медианы из условия.

Из условия также известны значения длин сторон треугольника: АВ = АС = 13 см и ВС = 10 см.

По свойству пересечения медиан в обратном порядке получаем, что соотношение расстояний от точки О до вершин треугольника равно соотношению длин медиан.
Обозначим расстояние от точки О до вершины А за x, тогда расстояние от точки О до вершины С будет 2x.

Таким образом, имеем уравнение: (1/3) * x + (2/3) * x + x = 10.
Найдем x: (1/3 + 2/3 + 1) * x = 10.
Упрощая, получаем: (6/3) * x = 10 => 2x = 10 => x = 5.

Получается, что расстояние от точки О до вершины В равно 1/3 от длины медианы.
Таким образом, расстояние от точки О до вершины В равно (1/3) * 13 = 13/3 = 4.33 см.

Итак, мы получили, что расстояние от точки О до вершины В равно 4.33 см.

3. Для вычисления медиан треугольника с заданными сторонами воспользуемся формулой:
медиана = 0.5 * √(2 * (a^2 + b^2) - c^2), где a, b и c - стороны треугольника.

Из условия известны значения сторон треугольника: 25 см, 25 см и 14 см.
Подставляя значения в формулу для медианы, получаем:
медиана_АВ = 0.5 * √(2 * (25^2 + 25^2) - 14^2) = 0.5 * √(2 * (625 + 625) - 196) = 0.5 * √(2 * 1250 - 196) = 0.5 * √(2500 - 196) = 0.5 * √(2304) = 0.5 * 48 = 24 см.
Аналогично вычисляем медианы медиана_АС и медиана_ВС.

Итак, мы получили значения медиан треугольника: медиана_АВ = 24 см, медиана_АС = 24 см и медиана_ВС = 14 см.