две равных хорды окружности образуют вписаный угол величиной 30 градусов. найдите отношение площади части круга, лежащей внутри угла, к площади всего круга.

Две равных хорды окружности образуют вписанный угол величиной 30 градусов. Найдите отношение площади части круга, лежащей внутри угла, к площади всего круга.

-----------

Обозначим центр круга О,  хорды - АВ и ВС.

 Угол АВС=30° 

Соединим концы хорд с центром О.

 Треугольники  АОВ и ВОС  равнобедренные и  равны по трем равным сторонам.

Площадь части круга, лежащей внутри угла АВС, равна сумме площадей сектора АОС и треугольников АОВ и ВОС. 

Центральный угол равен двум вписанным, опирающимся на ту же дугу. 

∠АОС=2•∠АВС=60°.

S АОС=1/6 площади круга= πr²/6 (т.к. градусная мера сектора равна 1/6 градусной меры полного круга)

S  ∆ AOB=S ∆ ВОС=ВО•CO•sin∠AOB:2

AO=BO=r

ВО- биссектриса угла АВС.⇒

∠АОВ=30°

∆ АОВ - равнобедренный, ⇒∠АОВ=150°; sin ∠150º=sin 30º=1/2

S  ∆ AOB=0,5•r² •1/2=r²/4

S (ABCM)=πr²/6 +2•r²/4=(πr²+3r²):6

Отношение площади части круга к площади всего круга

{(πr²+3r²):6}: πr²= (π+3):6π