Две окружности касаются внутренним образом в точке S. Хорда AB внешней окружности касается внутренней окружности в точке T. Прямая ST пересекает внешнюю окружность в точках S и C. Найдите площадь четырёхугольника SABC, если известно, что CA=5, CB параллельна AS, а радиусы окружностей относятся как 11:16.

По лемме Архимеда:  BST = CSA , тогда  AB и CS  биссектрисы углов CAS и BSA соответственно, по условию BS || AS и  AB касательная к меньшей окружности, тогда  TSD =  ATD = CAB то есть TD || AC.

ABCS  равнобедренная трапеция и AC=BC=BS = 5. (опираются на одни и те же вписанные углы)

Пусть O1 , O2 центры большей и меньших окружностей и r1, r2 их радиусы соответственно,  очевидно что O1,O2,S лежат на одной прямой, из-за параллельности TD || AC то есть CAS =  TDS получается   CO1S =  TO2S = 2*CAS  ,  то есть треугольники  TO2S ,  CO1S подобны, откуда  ST/SC =  SO2/SO1 = r2/r1 = 11/16

SC/ST = 16/11  

CT/ST = 5/11  

так как AT биссектриса, то по теореме о биссектрисе AC/AS = CT/ST=5/11

AC=5,  AS=11

получаем равнобедренную трапецию  ABCS все стороны известны

опустим высоту AH из вершины C на AS,  которая равна  h,  тогда AH=(11-5)/2=3

 CH=√(5^2-3^2) = 4

S(ABCS) = (5+11)*4/2 = 32