Докажите свойство катета прямоугольного треугольника лежащего против угла в 30 пазязя

В равностороннем треугольнике все углы 60, все биссектрисы являются также медианами и высотами. Биссектриса отсекает треугольник с углом 30, прямоугольный (так как биссектриса является высотой), а катет против угла 30 равен половине стороны (так как биссектриса является медианой), а значит и половине гипотенузы.

∆ ABC,

∠C=90º,

∠A=30º.

(изображение 1)

Доказать:

BC=1/2AB

Доказательство:

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то

∠B=90º-∠A=90º-30º=60º.

Проведем из вершины прямого угла медиану CF.

(изображение номер 2,дорисовать к существующему)

Так как медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то

СF=1/2AB

то есть, CF=AF=BF.

Так как BF=CF, то  треугольник BFC — равнобедренный с основанием BC.Следовательно, у него углы при основании равны:

∠B=∠BCF=60º.

Так как сумма углов треугольника равна 180º, то в треугольнике BFC

∠BFC =180º -(∠B+∠BCF)=60º.

Поскольку все углы треугольника BFC равны, то этот треугольник — равносторонний.

Значит, все его стороны равны и

BC=CF=BF=1/2AB

Что и требовалось доказать.