Докажите это следствие самостоятельно. Две 9 Задача. Докажите, что все точки одной из двух параллельных прямые равноудалены от другой прямой. Решение. Пусть прямые а и b параллельны (рис. 228), Ми- произвольные точки прямой а. Опустим из них перпендикуляры МК и ур на прямую b. Докажем, что МК = NP. Рассмотрим треугольники MKN и PNK. Отрезок KN — их общая ст. рона. Так как MK Ibи NP Ib, то МК || NP, а углы MKN и PNK равны как накрест лежащие при параллельных прямых МК и NP и секущей KN Аналогично углы MNK и PKN равны как накрест лежащие при п. раллельных прямых MN и КР и секущей KN. Следовательно, треугольний ки MKN и PNK равны по стороне и двум прилежащим утлам. Тогда МК = NP. Определение

Для доказательства данного следствия, будем работать с двумя параллельными прямыми а и b (как показано на рисунке 228).

Допустим, у нас есть две точки на прямой а, обозначим их как М1 и М2.

Шаг 1: Из каждой из этих точек (М1 и М2) опустим перпендикуляры (perpendicular) на прямую b. Обозначим конечные точки перпендикуляров как К1 и К2 соответственно.

Шаг 2: Теперь построим прямую у, которая проходит через точки К1 и К2. Эта прямая будет называться секущей (secant), так как она пересекает параллельные прямые а и b.

Шаг 3: Рассмотрим треугольники M1K1N и NPK2. Мы можем заметить, что у этих треугольников общая сторона КН (направленая перпендикулярно прямой b).

Шаг 4: Так как прямые а и b параллельны, то перпендикуляры МК1 и NP также параллельны. Это означает, что углы M1KN и PK2N равны, так как они лежат на параллельных прямых (MK1 и NP) и секущей KN.

Шаг 5: Аналогично, углы MK1N и PK2N равны, так как они находятся на параллельных прямых МN и КР и секущей KN.

Шаг 6: Из шагов 4 и 5 следует, что треугольники M1K1N и NPK2 равны по стороне и двум прилежащим углам (по признаку равности треугольников).

Шаг 7: Таким образом, сторона М1К1 треугольника M1K1N равна стороне NP треугольника NPK2 (по определению равных сторон треугольников).

Таким образом, мы доказали, что все точки на прямой а, взятые произвольным образом, равноудалены от прямой b.