Докажите, что внешний угол треугольника равен углу между биссектрисами углов, не смежных с ним​

Для доказательства данного утверждения мы воспользуемся свойством биссектрисы треугольника.

Предположим, у нас есть треугольник ABC, у которого D - точка пересечения биссектрис угла A и биссектрисы угла B. Далее, пусть E - точка пересечения биссектрис угла A и внешней биссектрисы угла C (т.е. угла, не смежного с внешним углом).

1. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов. Внешний угол треугольника ABC обозначим как угол C. Тогда мы можем записать: угол C = угол B + угол A.

2. Биссектриса угла А разделяет его на два равных угла. Таким образом, угол A равен половине угла BAD, где D - точка пересечения биссектрис угла A и стороны BC. Мы можем записать: угол A = (1/2) * угол BAD.

3. Аналогично, биссектриса угла B разделяет его на два равных угла. Таким образом, угол B равен половине угла ABС, где С - точка пересечения биссектрис угла B и стороны AC. Мы можем записать: угол B = (1/2) * угол ABC.

4. Теперь мы можем заменить углы A и B в уравнении на их эквиваленты из пунктов 2 и 3: угол C = (1/2) * угол ABC + (1/2) * угол BAD.

5. Обратимся к внешней биссектрисе угла C. Она разделяет внешний угол C на два равных угла. Таким образом, угол C' равен половине внешнего угла C, где С' - точка пересечения внешней биссектрисы угла C и продолжения стороны AB. Мы можем записать: угол C' = (1/2) * угол C.

6. Теперь сравним углы C' и внутреннего угла между биссектрисами углов A и B. Мы видим, что угол C' равен углу ABC (т.к. они оба равны половине угла C). Таким образом, мы можем записать: угол C' = угол ABC.

7. Из пункта 6 следует, что угол C' = угол ABC = (1/2) * угол ABC + (1/2) * угол BAD = угол C.

Таким образом, мы доказали, что внешний угол треугольника равен углу между биссектрисами углов, не смежных с ним.