Докажите, что перпендикуляр проведённый из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенный из этой же точки к этой прямой.

Все очень просто:

Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки к прямой, меньше всякой наклонной, проведённой из той же точки к этой прямой. 

Отрезок АС является перпендикуляром к прямой ОВ, а АМ — одна из наклонных, проведённых из точки А к прямой ОВ. Требуется доказать, что АМ > АС. 

В /\ МАС отрезок АМ является гипотенузой, а гипотенуза больше каждого из катетов этого треугольника . Следовательно, АМ > АС. Так как наклонная АМ взята нами произвольно, то можно утверждать, что всякая наклонная к прямой больше перпендикуляра к этой прямой (а перпендикуляр короче всякой наклонной), если они проведены к ней из одной и той же точки. 

Верно и обратное утверждение, а именно: если отрезок АС  меньше всякого другого отрезка, соединяющего точку АС любой точкой прямой ОВ, то он является перпендикуляром к ОВ. В самом деле, отрезок АС не может быть наклонной к ОВ, так как тогда он не был бы самым коротким из отрезков, соединяющих точку А с точками прямой ОВ. Значит, он может быть только перпендикуляром к ОВ. 

Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, принимается за расстояние от данной точки до этой прямой.

ВОТ КАК ТО ТАК.

Если из точки вне прямой опустить перпендикуляр и провести наклонную, то получится прямоугольный треугольник.  А в любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Прямой угол  в прямоугольном треугольнике естественно больше любого острого угла, значит и сторона (гипотенуза) лежащая против него будет всегда больше, чем любой из катетов, лежащих против острых углов. Для любых углов перпендикуляр будет меньше любой наклонной проведенной из той же точки.