докажите что около четырехугольника EFPQ с вершинами в точках пересечения биссектрис внутренних углов произвольного четырехугольника ABCD можно описать окружность
и чертеж

Добрый день! Для начала, нам нужно понять, что такое биссектриса угла. Биссектриса угла - это линия, которая делит данный угол на две равные части.

Теперь давайте рассмотрим четырехугольник ABCD:

A───B
│ │
│ │
D───C

В нашем четырехугольнике ABCD мы проводим биссектрисы всех его внутренних углов. Предположим, что эти биссектрисы пересекаются в точках E, F, P и Q:

E
╱ │ ╲
B───┼───C
╲ │ ╱
F
Давайте рассмотрим угол EDC. Мы знаем, что биссектриса угла делит его на две равные части, поэтому угол EDB равен углу ECD. Также мы знаем, что угол EDF равен углу ECF, так как биссектриса делит угол на две равные части. Из этого следует, что угол EDB равен углу EDF.

Теперь давайте рассмотрим угол BAC. Мы проводим биссектрису этого угла, которая пересекает биссектрису угла EDC в точке E. Это означает, что угол DEA равен углу EFA.

Из этих равенств углов следует, что углы EFD и EFA равны друг другу.

Мы также замечаем, что углы EFD и EPA - это смежные углы, так как они дополняют друг друга до 180 градусов. Это значит, что углы EPA и EFA равны друг другу.

Теперь давайте рассмотрим угол EFB. Мы знаем, что биссектриса угла делит его на две равные части, поэтому угол EFB равен углу EFA.

Из этих рассуждений следует, что углы EPA и EFB равны друг другу.

Теперь, если мы продолжим проделывать аналогичные рассуждения для остальных трех углов, мы получим, что все углы у треугольника EFB равны друг другу.

Следовательно, треугольник EFB является равносторонним треугольником.

Из данного факта следует, что мы можем описать окружность, проходящую через точки E, F и B. Эта окружность является описанной окружностью треугольника EFB.

Теперь мы знаем, что треугольник EFB - это лишь один треугольник, который образован биссектрисами углов четырехугольника ABCD. Мы можем проделать аналогичные рассуждения для каждого из трех оставшихся треугольников, образованных биссектрисами четырех углов.

Таким образом, мы можем описать окружность, проходящую через точки E, F, P и Q. Эта окружность является описанной окружностью четырехугольника ABCD.

Ниже представлена схема размещения точек и построения окружности:

Q
│
B───E───F───C
│
P