Докажите что если О точка пересечения медиан треугольника ABC,то OA+OB+OC=0.

Отразим треугольник относительно стороны AC. Заметим, что KL является средней линией в треугольнике  BCB'. Поэтому LK равен половине диагонали параллелограмма и равен зеленой медиане. Значит, треугольник AKL составлен из медиан. Векторы в условии в 2/3 раза меньше векторов, из которых составлен треугольник AKL, поэтому их сумма тоже 0.

Хорошо! Для решения данной задачи, нужно вспомнить некоторые свойства медиан треугольника. Полагая, что точка O - точка пересечения медиан треугольника ABC, мы хотим доказать, что сумма длин отрезков OA, OB и OC равна нулю.

1. Давайте рассмотрим свойство медиан. Медиана - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Таким образом, точка O, как точка пересечения медиан, является серединой отрезков, соединяющих вершины треугольника и середины соответствующих противоположных сторон.

2. Давайте обозначим середины сторон треугольника ABC как D, E и F соответственно. Тогда мы можем записать, что AD = BD = CD, BE = AE = CE и CF = AF = BF.

3. Разобьем отрезки AO, BO и CO на две части: часть от точки O до середины соответствующей противоположной стороны (например, для AO это будет отрезок OD) и часть от середины стороны до вершины треугольника (например, для AO это будет отрезок AD). Таким образом, мы можем записать, что AO = OD + AD, BO = OE + BE и CO = OF + CF.

4. Заметим, что точка O является серединой отрезков, соединяющих вершины треугольника и середины соответствующих противоположных сторон. Поэтому элементы AO, BO и CO будут равны между собой и состоять только из элементов, которые встречаются дважды.

5. Исходя из этого, мы можем записать, что AO = OD + AD = BD + AD = AB, BO = OE + BE = AE + BE = AC и CO = OF + CF = AF + CF = BC.

6. Итак, мы можем записать, что AO = AB, BO = AC и CO = BC. Отсюда следует, что AO + BO + CO = AB + AC + BC.

7. Заметим, что AB + AC + BC - это сумма длин всех сторон треугольника ABC. Сумма длин всех сторон треугольника равна нулю только в том случае, когда треугольник вырождается в точку, то есть его стороны совпадают и пересекаются.

8. Поскольку в нашей задаче треугольник ABC существует и не вырожден, это значит, что AB + AC + BC не равно нулю.

9. Следовательно, мы получаем, что AO + BO + CO не равно нулю.

Таким образом, мы доказали, что если O - точка пересечения медиан треугольника ABC, то сумма длин отрезков OA, OB и OC не равна нулю.