Докажи, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, найди его площадь, если A(13;2), B(15;3), C(11;11) и D(9;10).

SABCD=
.

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, мы должны убедиться, что его противоположные стороны параллельны и что его углы прямые.

Шаг 1: Проверка параллельности сторон.
Для этого нам необходимо вычислить угловые коэффициенты прямых, которыми проходят стороны AB и CD, а также BC и AD. Если угловые коэффициенты этих прямых равны, то стороны параллельны.

Угловой коэффициент между двумя точками можно найти по формуле: m = (y2 - y1)/(x2 - x1), где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты этих точек.

Для стороны AB:
m1 = (3 - 2) / (15 - 13) = 1/2

Для стороны CD:
m2 = (10 - 11) / (9 - 11) = -1/2

Для стороны BC:
m3 = (11 - 3) / (11 - 15) = -2/4 = -1/2

Для стороны AD:
m4 = (10 - 2) / (9 - 13) = -2/4 = -1/2

Мы видим, что угловые коэффициенты между сторонами AB и CD, BC и AD равны. Поэтому эти стороны параллельны.

Шаг 2: Проверка прямых углов.
Для этого необходимо вычислить произведение угловых коэффициентов всех сторон. Если это произведение равно -1, то углы прямые.

Произведение угловых коэффициентов:
m1 * m2 * m3 * m4 = (1/2) * (-1/2) * (-1/2) * (-1/2) = 1/16

Мы видим, что произведение угловых коэффициентов равно 1/16, что не равно -1. Поэтому углы в четырёхугольнике ABCD не являются прямыми. Следовательно, четырёхугольник ABCD не является прямоугольником.

Площадь четырёхугольника ABCD можно найти, используя формулу площади треугольника:
S = (1/2) * основание * высота

Мы можем разделить четырёхугольник ABCD на два треугольника (ABC и ACD), вычислить площади этих треугольников, а затем сложить их, чтобы найти общую площадь четырёхугольника ABCD.

Площадь треугольника ABC:
AB = √[(15 - 13)^2 + (3 - 2)^2] = √(4 + 1) = √5
Высота треугольника ABC - расстояние от точки C до прямой AB. Для этого мы можем использовать формулу расстояния между точкой и прямой: d = |Ax + By + C| / √(A^2 + B^2), где прямая задана уравнением Ax + By + C = 0.

A = 2 - 3 = -1
B = 13 - 15 = -2
C = (13 * 2) - (15 * 3) = -3

d = |-1 * 11 + (-2) * 11 + (-3)| / √((-1)^2 + (-2)^2) = 33 / √5

S(ABC) = (1/2) * √5 * (33 / √5) = (1/2) * 33 = 16.5

Площадь треугольника ACD можно вычислить аналогично. Расстояние от точки B до прямой CD будет равно 33 / √5.

S(ACD) = (1/2) * √5 * (33 / √5) = (1/2) * 33 = 16.5

Теперь мы можем сложить площади треугольников ABC и ACD, чтобы найти общую площадь четырёхугольника ABCD:

SABCD = S(ABC) + S(ACD) = 16.5 + 16.5 = 33.