Доказать , что в правильном шестиугольнике abcdef диагональ ac делит его на 2 фигуры , площади которых пропорциональны числам 1: 5

Пусть сторона шестиугольника равна а. Площадь шестиугольника равна площади шести равносторонних треугольников со стороной а, и она равна 1/2*a*a*sin60=6*sqrt(3)*a^2/4 (по формуле S=1/2*a*b*sin[угла между сторонами a и b]). Треугольник ABC равнобедренный с боковой стороной а и  углом при вершине 120 градусов. Тогда его площадь равна 1/2*a*a*sin120=sqrt(3)*a^2/4. Площадь оставшейся части равна 6*sqrt(3)*a^2/4-sqrt(3)*a^2/4=5*sqrt(3)*a^2/4, значит, эти площади относятся как 1:5.

синусы какие-то и корни :((( кто же так решает :(((

Точки А и С соединяем с центром О шестиугольника. Пролучаем РОМБ.

(И не просто ромб, а составленный из 2 равносторонних треугольников АОВ и ВСО. Если это КОМУ-ТО непонятно, ну посидите пару часов над рисунком, и подумайте, какой получится равнобедренный треугольник с углом при вершине 360/6 = 60 градусов. Но я отвлекся.)

Площадь этого ромба 1/3 площади шестиугольника. А площадь треугольника АВС равна половине площади ромба, то есть 1/6 площади шестиугольника. Значит "оставшаяся" фигура имеет площадь 5/6 площади шестиугольника. 

КОНЕЧНО, найти отношение этих площадей НЕОБЫКНОВЕННО трудно, но ЧТО-ТО мне подсказывает, что это 1/5. :

 

Чтобы доказать это утверждение, нам нужно пользоваться свойствами правильных шестиугольников.

Пусть M - середина диагонали AC. Так как шестиугольник ABCDEF правильный, то все его стороны одинаковой длины, и у него все углы равны 120 градусам.

Теперь разберемся, какие фигуры образуются при делении шестиугольника диагональю AC.

1. Внутренний треугольник AEC
Мы уже знаем, что угол EAC равен 120 градусам. Так как шестиугольник ABCDEF правильный, то угол ACE тоже равен 120 градусам. Таким образом, треугольник AEC равнобедренный и у него два равных угла при основании AC. Значит, AM является высотой треугольника AEC, а EM равноудалено от сторон AE и AC (так как треугольник равнобедренный).

2. Внешний треугольник ADC
Аналогично, мы знаем, что угол DAC равен 120 градусам. Так как шестиугольник ABCDEF правильный, то угол DCA тоже равен 120 градусам. Значит, треугольник ADC также равнобедренный и AM является его высотой.

Теперь мы можем доказать, что площади этих двух фигур пропорциональны числам 1:5.

Посчитаем площади треугольников:

1. Площадь треугольника AEC
Мы знаем, что AM является высотой треугольника AEC, а основание AE равно половине стороны шестиугольника. Зная, что высота треугольника делит его на две равные части, можем сказать, что площадь треугольника AEC равна половине площади треугольника ABCDEF.

2. Площадь треугольника ADC
Аналогично, AM является высотой треугольника ADC, а основание AD также равно половине стороны шестиугольника. Следовательно, площадь треугольника ADC также равна половине площади треугольника ABCDEF.

Итак, мы доказали, что диагональ AC делит правильный шестиугольник ABCDEF на две фигуры, площади которых пропорциональны числам 1:5.