Доказать, что радиус окружности, вписанной в правильный треугольник равен половине радиуса описанной окружности

См. Доказательство

Объяснение:

Задание:

Доказать, что радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен половине радиуса описанной окружности

Доказательство:

1) Пусть:

a - сторона правильного треугольника;

h - его высота;

r - радиус окружности, вписанной в треугольник;

R - радиус описанной окружности.

2) Так как все углы правильного треугольника равны 60°, то его высота является катетом, который лежит против угла 60°, и равна произведению гипотенузы (стороны треугольника) на синуса угла 60°:

h = a · sin 60° = а√3/2.

2) В правильном треугольнике все высоты являются медианами и точкой пересечения медиан делятся на отрезки 2 : 1, считая от вершины:

2 · (а√3/2)/3 = а√3/3

1 ·  (а√3/2)/3 = а√3/6.

3) Первый из указанных отрезков является точкой пересечения срединных перпендикуляров, в силу чего является радиусом описанной окружности:

R = а√3/3

4) Второй отрезок (1/3 часть медианы) - радиус вписанной окружности:

r = а√3/6

5) Найдём, чему равно отношение r : R:

r : R = (а√3/6) : (а√3/3) = 1/6 : 1/3 = 1/6 · 3/1 = 3/6 = 1/2 - что и требовалось доказать.